Определение
Ряд называется знакопеременным , если он содержит как положительные, так и отрицательные члены.
Пример 16. Ряды
,
,
являются знакопеременными.
Знакочередующиеся ряды, очевидно, являются частным случаем знакопеременных рядов.
Для
знакопеременного ряда
возникает вопрос о связи его сходимости
со сходимостью знакоположительного
ряда 
.
ТЕОРЕМА 9 (Признак абсолютной сходимости)
Если
сходится ряд
,
то сходится и ряд
.
Доказательство.
Из сходимости ряда
по
свойству 3 сходящихся рядов следует
сходимость ряда
.
Действительно, поскольку
,
где
,
то по первому признаку сравнения сходится
и ряд
.
Отсюда
следует, что ряд
также сходится, так как является
алгебраической суммой двух сходящихся
рядов.
В
доказанной теореме сформулирован
достаточный
признак сходимости
ряда
.
Обратное утверждение в общем случае
неверно.
Определения
Если
сходится ряд
,
то ряд
называется
абсолютно
сходящимся.
Если
же ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
называется
условно
сходящимся
.
Пример
17.
.
Общий
член этого ряда
.
Так как
,
то ряд
расходится, ибо он является рядом
Дирихле, в котором
.
Ряд
согласно признаку Лейбница сходится.
Следовательно, исследуемый ряд сходится
условно.
Пример
18.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Этот
ряд сходится абсолютно, так как ряд
–
сходящийся
ряд Дирихле.
При исследовании знакочередующихся рядов на сходимость можно рассуждать по следующей схеме:
Ранее отмечалось, что в знакоположительных рядах можно произвольным образом переставлять и группировать члены. В знакопеременных рядах, если они абсолютно сходятся, это свойство сохраняется. Для условно сходящихся рядов дело обстоит иначе. Здесь группировка, перестановка членов ряда может нарушить сходимость ряда. Например, если из знакочередующегося условно сходящегося ряда выделить положительные члены, то полученный ряд может расходиться. Следует иметь в виду это обстоятельство и с условно сходящимися рядами обращаться с большой осторожностью. Для условно сходящихся рядов справедлива следующая теорема Римана.
ТЕОРЕМА 10
Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся.
К
примеру, если в ряде
провести перестановку членов, то ряд
можно представить в виде
Итак, сумма рассматриваемого ряда уменьшилась вдвое. Это происходит потому, что при условной сходимости осуществляется взаимное погашение положительных и отрицательных членов и, следовательно, сумма ряда зависит от порядка расположения членов, а при абсолютной сходимости ряда этого не происходило.
Пример
19.
Исследовать на сходимость ряд
.
Данный
ряд знакочередующийся. Исследуем ряд,
составленный из модулей его членов,
т.е. ряд
.
Используя признак Коши, получаем
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Функциональные ряды Функциональный ряд и его область сходимости
Пусть
,
,...,
,...
–
последовательность функций, определенных
на некотором множестве
.
Определение
Ряд вида
,
(14)
членами которого являются функции, называется функциональным .
Придавая
в (14)
различные числовые значения из множества
,
будем получать различные числовые ряды.
В частности, при
из (14) получим числовой ряд
.
Этот числовой ряд может быть сходящимся
или расходящимся. Если он сходится, то
называетсяточкой
сходимости функционального ряда
(14) .
Множество
всех точек сходимости функционального
ряда называют его
областью
сходимости
и обозначают ее через
.
Очевидно,
.
В частных случаях множество
может совпадать или не совпадать с
множеством
или же может быть и пустым множеством.
В последнем случае функциональный ряд
расходится в каждой точке множества
.
Вид
области
для произвольного функционального ряда
может быть различным: вся числовая ось,
интервал, объединение интервалов и
полуинтервалов и т.д. В простейших
случаях при исследовании функциональных
рядов на сходимость можно применить
рассмотренные выше признаки сходимости
числовых рядов, если подx
понимать фиксированное число.
Определения
Сумма
первых
членов функционального ряда
называется
ой
частичной суммой
,
а функция
,
определенная в области
,–
суммой
функционального ряда
.
Функция
,
определенная в области
,
называется
остатком
ряда
.
Функциональный
ряд называется
абсолютно
сходящимся
на множестве
,
если в каждой точке
сходится ряд
.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Исследовать
на сходимость ряд
.
Применим
достаточный признак Лейбница для
знакочередующихся рядов. Получаем
поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.
38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 < an для всех n;
Тогда знакочередующиеся ряды исходятся.
39. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Интервал сходимости.
Понятие функционального ряда и степенного ряда
Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:
Все члены ряда –это ЧИСЛА.
Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:
В общий член рядапомимо многочленов, факториалов и других подарков непременно входит буковка «икс». Выглядит это, например, так:
Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:
Как видите, все члены функционального ряда это функции.
Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.
Определение:
Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной.
Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где– это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:
Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях.
Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: илигде а – константа. Например:
Строго
говоря, упрощенные записи степенного
ряда,илине
совсем корректны. В показателе степени
вместо одинокой буквы «эн» может
располагаться более сложное выражение,
например:
Или такой степенной ряд:
Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными.
Сходимость степенного ряда .
Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости
Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться.
Прошу любить и жаловать степенной ряд Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»:
Если х=1,то
Если х=-1,то
Если х=3,то
Если х=-0,2, то
Очевидно,
что, подставляя в
то или иное значение «икс», мы получаем
различные числовые ряды. Некоторые
числовые ряды будут сходиться, а некоторые
расходиться. И наша задача найти множество
значений «икс», при котором степенной
рядбудет сходиться. Такое множество и
называется областью сходимости ряда.
Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая:
1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервалаи подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
Геометрически
ситуация выглядит так:
В
данном случае, интервал сходимости
ряда:
радиус сходимости ряда:
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость
Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.
Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.
Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:
А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.
Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».
В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:
Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .
Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.
Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.
Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.
Если выполнены эти условия, то ряд сходится .
Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:
Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду 
. Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа
. Мы увидим, что каждый следующий
член ряда меньше
, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:
– Члены ряда без учёта знака
убывают.
– Члены ряда убывают по модулю
.
– Члены ряда убывают по
абсолютной величине
.
– Модуль
общего члена ряда стремится к нулю:
// Конец справки
Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.
Члены ряда строго монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю
МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:
А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю
меньше, чем предыдущий: .
Члены ряда нестрого монотонно
убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: 
Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю
не больше предыдущего: .
В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.
Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:
Пример 1
В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:
1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно 
и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.
– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела 
не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.
Определение 6.1 Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.
Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1. an+1 < an ;
Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.
Абсолютная и условная сходимость
Определение 6.2 Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем
поскольку. Следовательно, данный ряд сходится.
Исследовать на сходимость ряд.
Попробуем применить признак Лейбница:
Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n > ?. Поэтому данный ряд расходится
Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел. Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:
Таким образом, исходный ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд
Общий член данного ряда равен. Применим признак Даламбера к ряду, составленному из модулей:
Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.
Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:
Рассмотрим теперь сходимость ряда, составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем
Следовательно исходный ряд сходится условно.
Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Сначала применим признак Лейбница:
Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом:
Поскольку ряд, составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.
1. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Определить сходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.
Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Такие ряды будем называть положительными рядами.
Теорема 3.1. (признак сравнения)
Пусть даны два положительных ряда
и выполняются условия для всех n=1,2,…
Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);
2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).
Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.
Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.
2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.
Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.
Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии
т. к. , n=1,2,…
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.
Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд
Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.
Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера).
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
- 2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда
Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера.
В нашем случае.
Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд
Следовательно, исходный ряд сходится.
Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Даламбера:
Следовательно, исходный ряд расходится.
Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда
Теорема 3.3. (Предельный признак Коши Коши Огюстен Луи (1789 - 1857), французский математик.).
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
- 2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
- 3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд
Применим предельный признак Коши:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).
Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке
Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд
Применим интегральный признак Коши.
В нашем случае функция удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.
Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд
Функция удовлетворяет условию теоремы 3.4.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Рассмотрим следующие случаи:
- 1) пусть Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.
- 2) пусть Тогда
Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;
3) пусть Тогда
Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.
Окончательно имеем
Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при, т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.
2. Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признака сравнения.
Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда
т. к. и параметр
Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).
Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.
До сих пор мы изучали только ряды, все члены которых были положительными . Теперь мы перейдем к рассмотрению рядов, содержащих как положительные, так и отрицательные члены. Такие ряды называются знакопеременными.
В качестве примера знакопеременного ряда приведем ряд
Изучение знакопеременных рядов мы начнем с частного случая, так называемых знакочередующихся рядов, т. е. рядов, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный и за каждым отрицательным членом следует положительный.
Обозначая через - абсолютные величины членов ряда и считая, что первый член положителен, знакочередующийся ряд запишем следующим образом:
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости Лейбница.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (34) абсолютные величины членов убывают:
и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена ряда.
Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда
Сгруппируем члены попарно:
Так как по условию абсолютные величины членов ряда убывают, то все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма положительна и возрастает при увеличении .
Запишем теперь группируя члены иным образом:
Сумма в квадратных скобках будет также положительной. Поэтому для любого значения . Таким образом, последовательность четных частичных сумм возрастает с увеличением , оставаясь при этом ограниченной. Следовательно, имеет предел
При этом, так как то ясно, что Рассмотрим теперь сумму нечетного числа членов:
При имеем
так как по условию и, следовательно, .
Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов имеют общий предел S. Это означает, что вообще , т. е. ряд сходится. При этом, как видно из доказательства, сумма ряда S не превосходит первого члена ряда.
Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
Следовательно, ряд сходится.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая знакопеременного ряда. Будем предполагать, что в ряде
числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
Для таких рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Теорема. Если для знакопеременного ряда
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
то данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (37) и (38):
Таким образом, члены ряда (39) либо равны членам сходящегося ряда (38), либо меньше их. Поэтому ряд (39) сходится на основании признака сравнения (см. п. 5, теорему 1 и сноску на стр. 501).
Умножив все члены сходящегося ряда (38) на получим сходящийся ряд
(см. п. 3, теорема 1). Рассмотрим теперь ряд, являющийся разностью сходящихся рядов (39) и (40)
Этот ряд сходится на основании теоремы 2 п. 3.
Но ряд (37) получается из последнего ряда умножением всех его членов на 2:
Следовательно, ряд (37) также сходится (п. 3, теорема 1).
Пример 2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд (33)
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
Этот ряд сходится, как обобщенный гармонический ряд с показателем . Следовательно, на основании доказанного признака сходится и данный ряд (33).
Этот признак является достаточным, но не необходимым. Это значит, что существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.
Действительно рассмотрим ряд
который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Между тем, ряд
составленный из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и, следовательно, расходится.
Хотя рассмотренные выше ряды (33) и (42) оба сходятся, однако характер их сходимости различен.
Ряд (33) сходится одновременно с рядом (41), составленным из абсолютных величин его членов, тогда как ряд (43), составленный из абсолютных величин сходящегося ряда (42), расходится.
В связи с этим введем следующие определения.
Определение. Знакопеременный ряд абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
На основании достаточного признака сходимости знакопеременного ряда всякий абсолютно сходящийся ряд будет сходящимся.
Определение. Знакопеременный ряд называется неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов их расходится.
Возвращаясь к рассмотренным выше примерам, можем сказать, что ряд (33) является абсолютно сходящимся, а ряд ( - неабсолютно сходящимся.
Похожие статьи
