परिभाषा:

अनुक्रमों द्वारा परिभाषित पी-एडिक पूर्णांक संख्याओं का योग और उत्पाद क्रमशः अनुक्रमों द्वारा परिभाषित पी-एडिक पूर्णांक संख्याएं कहा जाता है।

इस परिभाषा की शुद्धता के बारे में सुनिश्चित होने के लिए, हमें यह साबित करना होगा कि अनुक्रम कुछ पूर्णांकों - आदि संख्याओं को परिभाषित करते हैं और ये संख्याएँ केवल उन पर निर्भर करती हैं, न कि उन अनुक्रमों की पसंद पर जो उन्हें परिभाषित करते हैं। इन दोनों गुणों को स्पष्ट सत्यापन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि एडिक पूर्णांकों पर संचालन की दी गई परिभाषा के साथ, वे एक संचारी रिंग बनाते हैं जिसमें तर्कसंगत पूर्णांकों की रिंग एक सबरिंग के रूप में होती है।

पूर्णांक आदिक संख्याओं की विभाज्यता को किसी अन्य रिंग की तरह ही परिभाषित किया गया है: यदि कोई पूर्णांक आदिक संख्या मौजूद है जैसे कि

विभाजन के गुणों का अध्ययन करने के लिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे पूर्णांक क्या हैं - आदिक संख्याएँ जिनके लिए व्युत्क्रम पूर्णांक होते हैं - आदिक संख्याएँ। ऐसी संख्याओं को इकाई गुणनखंड या इकाइयाँ कहा जाता है। हम उन्हें आदिक इकाइयाँ कहेंगे।

प्रमेय 1:

एक पूर्णांक एक अनुक्रम द्वारा परिभाषित एक आदिक संख्या है यदि और केवल यदि यह एक इकाई है।

सबूत:

मान लीजिए कि एक है, तो एक पूर्णांक मौजूद है - एक आदिक संख्या जैसे कि। यदि किसी क्रम से निर्धारित किया जाए तो स्थिति का मतलब यही होता है। विशेष रूप से, और इसलिए, इसके विपरीत, इसे आसानी से इस शर्त से पालन करें कि, ताकि। इसलिए, किसी भी n के लिए कोई ऐसा पा सकता है कि तुलना वैध हो। तब से और, तब से। इसका मतलब यह है कि अनुक्रम कुछ पूर्णांक को परिभाषित करता है - एक आदिक संख्या। जो एक इकाई है.

सिद्ध प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि पूर्णांक एक परिमेय संख्या है। रिंग के एक तत्व के रूप में माना जा रहा है, यदि और केवल यदि एक इकाई है जब। यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो इसे इसमें शामिल कर लिया जाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कोई भी परिमेय पूर्णांक b, ऐसे a से विभाज्य है, अर्थात। कि b/a रूप की कोई भी परिमेय संख्या, जहाँ a और b पूर्णांक हैं और, इस रूप की परिमेय संख्याओं में समाहित होती है, -पूर्णांक कहलाती है। वे एक स्पष्ट वलय बनाते हैं। हमारा परिणाम अब इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

परिणाम:

आदि पूर्णांकों के वलय में एक उप-वलय होता है, वलय के समरूपी- तर्कसंगत पूर्णांक.

भिन्नात्मक पी-एडिक संख्याएँ

परिभाषा:

फॉर्म का एक अंश, k >= 0 एक आंशिक पी-एडिक संख्या या बस एक पी-एडिक संख्या को परिभाषित करता है। दो भिन्न, और, समान पी-एडिक संख्या को परिभाषित करते हैं यदि सी।

सभी पी-एडिक संख्याओं का संग्रह पी द्वारा दर्शाया गया है। यह सत्यापित करना आसान है कि जोड़ और गुणा की संक्रियाएं पी से पी तक जारी रहती हैं और पी को एक क्षेत्र में बदल देती हैं।

2.9. प्रमेय. प्रत्येक पी-एडिक संख्या को फॉर्म में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

जहाँ m एक पूर्णांक है और वलय p की इकाई है।

2.10. प्रमेय. किसी भी गैर-शून्य पी-एडिक संख्या को विशिष्ट रूप में दर्शाया जा सकता है

गुण:पी-एडिक संख्याओं के क्षेत्र में तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र शामिल है। यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि कोई भी पूर्णांक पी-एडिक संख्या जो पी का गुणज नहीं है, रिंग पी में व्युत्क्रमणीय है, और पी का गुणज विशिष्ट रूप से उस रूप में लिखा जाता है जहां x, पी का गुणज नहीं है और इसलिए व्युत्क्रमणीय है, ए . इसलिए, फ़ील्ड p के किसी भी गैर-शून्य तत्व को इस रूप में लिखा जा सकता है जहां x, p का गुणज नहीं है, और m मनमाना है; यदि m ऋणात्मक है, तो, p-ary संख्या प्रणाली में अंकों के अनुक्रम के रूप में पूर्णांक p-adic संख्याओं के प्रतिनिधित्व के आधार पर, हम ऐसी p-adic संख्या को अनुक्रम के रूप में लिख सकते हैं, अर्थात औपचारिक रूप से इसे इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या के साथ एक पी-एरी अंश और, संभवतः, दशमलव बिंदु से पहले गैर-शून्य अंकों की एक अनंत संख्या। ऐसी संख्याओं का विभाजन भी "स्कूल" नियम के समान ही किया जा सकता है, लेकिन संख्या के उच्च अंकों के बजाय निचले अंकों से शुरू किया जा सकता है।

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शैक्षिक संस्थाउच्च व्यावसायिक शिक्षा

व्याटका राज्य मानवतावादी विश्वविद्यालय

गणित संकाय

गणितीय विश्लेषण और पद्धति विभाग
गणित पढ़ाना

अंतिम योग्यता कार्य

विषय पर: गाऊसी पूर्णांक वलय।

पुरा होना:

5वें वर्ष का छात्र

गणित संकाय

ग्नुसोव वी.वी.

___________________________

वैज्ञानिक सलाहकार:

विभाग के वरिष्ठ व्याख्याता

बीजगणित और ज्यामिति

सेमेनोव ए.एन..

___________________________

समीक्षक:

भौतिकी एवं गणित के अभ्यर्थी विज्ञान, एसोसिएट प्रोफेसर

बीजगणित और ज्यामिति विभाग

कोव्याज़िना ई.एम.

___________________________

राज्य सत्यापन आयोग में बचाव के लिए भर्ती कराया गया

सिर विभाग________________ वेच्टोमोव ई.एम.

« »________________

संकाय के डीन __________________ वरंकिना वी.आई.

परिचय।

सम्मिश्र पूर्णांकों का वलय

कार्ल गॉस द्वारा खोजा गया और उनके सम्मान में इसका नाम गॉसियन रखा गया।

के. गॉस को दूसरी डिग्री की तुलनाओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम की खोज के संबंध में एक पूर्णांक की अवधारणा का विस्तार करने की संभावना और आवश्यकता का विचार आया। उन्होंने पूर्णांक की अवधारणा को फॉर्म की संख्याओं में स्थानांतरित कर दिया

, जहां मनमाना पूर्णांक हैं, और समीकरण का मूल है। किसी दिए गए सेट पर, के. गॉस पूर्णांकों की विभाज्यता के सिद्धांत के समान, विभाज्यता के सिद्धांत का निर्माण करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने विभाज्यता के मूल गुणों की वैधता की पुष्टि की; दर्शाया कि सम्मिश्र संख्याओं के वलय में केवल चार व्युत्क्रमणीय तत्व होते हैं: ; शेषफल के साथ विभाजन पर प्रमेय की वैधता सिद्ध की, गुणनखंडन की विशिष्टता पर प्रमेय; दिखाया गया कि रिंग में कौन सी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य रहेंगी; सरल पूर्णांकों और सम्मिश्र संख्याओं की प्रकृति की खोज की।

के. गॉस द्वारा विकसित सिद्धांत, जिसका वर्णन उनके कार्य अंकगणित अध्ययन में किया गया है, संख्याओं और बीजगणित के सिद्धांत के लिए एक मौलिक खोज थी।

अंतिम कार्य में निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किये गये थे:

1. गाऊसी संख्याओं के वलय में विभाज्यता का सिद्धांत विकसित करें।

2. अभाज्य गाऊसी संख्याओं की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

3. सामान्य डायोफैंटाइन समस्याओं को हल करने में गाऊसी संख्याओं का उपयोग दिखाएं।

अध्याय 1. गॉस संख्याओं के दायरे में विभाजन।

आइए सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर विचार करें। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के अनुरूप, इसमें पूर्णांकों के एक निश्चित उपसमूह को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। फॉर्म के नंबरों का सेट

, कहाँ हम उन्हें सम्मिश्र पूर्णांक या गाऊसी संख्याएँ कहते हैं। यह सत्यापित करना आसान है कि रिंग स्वयंसिद्ध इस सेट के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं का यह समुच्चय एक वलय है और कहलाता है गाऊसी पूर्णांकों का वलय . आइए हम इसे इस रूप में निरूपित करें, क्योंकि यह तत्व द्वारा वलय का विस्तार है:।

चूँकि गॉसियन संख्याओं का वलय जटिल संख्याओं का एक उपसमूह है, इसलिए जटिल संख्याओं की कुछ परिभाषाएँ और गुण इसके लिए मान्य हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक गाऊसी संख्या के लिए

एक वेक्टर से मेल खाता है जिसकी शुरुआत एक बिंदु पर और अंत होता है। इस तरह, मापांक गाऊसी संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि विचाराधीन सेट में, सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति हमेशा एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक होती है। इसलिए, कुछ मामलों में इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है नियम , अर्थात् मापांक का वर्ग। इस प्रकार । आदर्श के निम्नलिखित गुणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। किसी भी गाऊसी संख्या के लिए निम्नलिखित सत्य है: (1) (2) (3) (4) (5) - सेट प्राकृतिक संख्या, अर्थात् धनात्मक पूर्णांक।

मॉड्यूल का उपयोग करके इन गुणों की वैधता को तुच्छ रूप से सत्यापित किया जाता है। आगे बढ़ते हुए, हम ध्यान दें कि (2), (3), (5) किसी भी जटिल संख्या के लिए भी मान्य हैं।

गाऊसी संख्याओं का वलय 0 विभाजक के बिना एक क्रमविनिमेय वलय है, क्योंकि यह सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र का एक उप-वलय है। इसका तात्पर्य वलय की गुणात्मक संकुचनशीलता से है

, अर्थात (6)

1.1 प्रतिवर्ती और संबद्ध तत्व।

आइए देखें कि कौन सी गाऊसी संख्याएँ उलटी होंगी। गुणन तटस्थ है

. यदि एक गाऊसी संख्या प्रतिवर्ती , फिर, परिभाषा के अनुसार, ऐसा अस्तित्व है। मानदंडों की ओर आगे बढ़ते हुए, संपत्ति 3 के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं। लेकिन ये मानदंड स्वाभाविक हैं, इसलिए। इसका मतलब है, संपत्ति 4 से, . इसके विपरीत, इस सेट के सभी तत्व उलटे हैं, क्योंकि। नतीजतन, एक के बराबर मानदंड वाली संख्याएं उलटी होंगी, यानी,।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी गाऊसी संख्याएँ उलटी नहीं होंगी। इसलिए विभाज्यता के मुद्दे पर विचार करना दिलचस्प है। हमेशा की तरह, हम ऐसा कहते हैं

शेयरों पर, यदि ऐसा है तो किसी भी गाऊसी संख्या के साथ-साथ व्युत्क्रमणीय संख्या के लिए, गुण मान्य हैं। (7) (8) (9) (10) , जहां (11) (12)

आसानी से जांचा गया (8), (9), (11), (12)। न्याय (7) (2) से अनुसरण करता है, और (10) (6) से अनुसरण करता है। गुण (9) के कारण समुच्चय के तत्व

हमने देखा है कि बहुपदों पर संक्रियाएँ उनके गुणांकों पर संक्रियाओं तक सीमित हो जाती हैं। वहीं, बहुपदों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने के लिए तीन अंकगणितीय संक्रियाएं पर्याप्त हैं - संख्याओं के विभाजन की आवश्यकता नहीं है। चूँकि दो वास्तविक संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल फिर से हैं वास्तविक संख्या, फिर वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने पर, परिणाम वास्तविक गुणांक वाले बहुपद होते हैं।

हालाँकि, ऐसे बहुपदों से निपटना हमेशा आवश्यक नहीं होता है जिनका कोई वास्तविक गुणांक होता है। ऐसे मामले हो सकते हैं, जब मामले के सार से, गुणांक में केवल पूर्णांक या केवल तर्कसंगत मान होना चाहिए। गुणांकों के कौन से मान स्वीकार्य माने जाते हैं, इसके आधार पर बहुपदों के गुण बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों पर विचार करते हैं, तो हम उन्हें गुणनखंडित कर सकते हैं:

यदि हम खुद को पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों तक सीमित रखते हैं, तो विस्तार (1) का कोई मतलब नहीं है और हमें बहुपद को कारकों में अविभाज्य मानना ​​चाहिए।

इससे पता चलता है कि बहुपद का सिद्धांत काफी हद तक इस बात पर निर्भर करता है कि कौन से गुणांक स्वीकार्य माने जाते हैं। गुणांकों के प्रत्येक सेट को स्वीकार्य नहीं माना जा सकता। उदाहरण के लिए, उन सभी बहुपदों पर विचार करें जिनके गुणांक विषम पूर्णांक हैं। यह स्पष्ट है कि ऐसे दो बहुपदों का योग अब एक ही प्रकार का बहुपद नहीं होगा: आखिरकार, विषम संख्याओं का योग एक सम संख्या है।

आइए प्रश्न पूछें: गुणांकों के "अच्छे" सेट क्या हैं? किसी दिए गए प्रकार के गुणांक वाले बहुपदों के योग, अंतर, गुणनफल में एक ही प्रकार के गुणांक कब होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम एक संख्या वलय की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा। संख्याओं के एक गैर-रिक्त समूह को संख्या वलय कहा जाता है, यदि इसमें किन्हीं दो संख्याओं के साथ उनका योग, अंतर और गुणनफल शामिल हो। इसे संक्षेप में यह कहकर भी व्यक्त किया जाता है कि संख्या वलय जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के अंतर्गत बंद होता है।

1) पूर्णांकों का समुच्चय एक संख्या वलय है: पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल पूर्णांक होते हैं। प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय नहीं है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का अंतर ऋणात्मक हो सकता है।

2) सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय है, क्योंकि परिमेय संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल परिमेय होते हैं।

3) एक संख्या वलय और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाता है।

4) a के रूप की संख्याएँ, जहाँ a और पूर्णांक हैं, एक संख्या वलय बनाती हैं। यह संबंधों से निम्नानुसार है:

5) विषम संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय नहीं है, क्योंकि विषम संख्याओं का योग सम होता है। सम संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय है।

एक प्रोग्रामिंग पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक पूर्णांक को कंप्यूटर मेमोरी में विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से, यह प्रतिनिधित्व इस पर निर्भर करता है कि इसे कैसे वर्णित किया गया है: प्रकार पूर्णांक, या वास्तविक, या स्ट्रिंग के मान के रूप में। इसके अलावा, अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में, पूर्णांकों को बहुत सीमित सीमा से संख्याओं के रूप में समझा जाता है: एक विशिष्ट मामला -2 15 = -32768 से 2 15 - 1 = 32767 तक होता है। प्रणाली कंप्यूटर बीजगणितबड़े पूर्णांकों से निपटें, विशेष रूप से, ऐसी कोई भी प्रणाली दशमलव संकेतन में फॉर्म 1000 की संख्याओं की गणना और प्रदर्शित कर सकती है! (एक हजार से अधिक अक्षर)।

इस पाठ्यक्रम में, हम प्रतीकात्मक रूप में पूर्णांकों के प्रतिनिधित्व पर विचार करेंगे और एक वर्ण (बिट, बाइट, या अन्य) रिकॉर्ड करने के लिए कौन सी मेमोरी आवंटित की जाती है, इसके बारे में विस्तार से नहीं बताएंगे। पूर्णांकों को निरूपित करना सबसे आम है स्थितीय संख्या प्रणाली. ऐसी प्रणाली संख्या आधार की पसंद से निर्धारित होती है, उदाहरण के लिए, 10. दशमलव पूर्णांकों का समुच्चय आमतौर पर इस प्रकार वर्णित है:

पूर्णांकों की लिखित परिभाषा ऐसी प्रत्येक संख्या का स्पष्ट प्रतिनिधित्व देती है, और अधिकांश प्रणालियों में एक समान परिभाषा (केवल, शायद, एक अलग आधार के साथ) का उपयोग किया जाता है कंप्यूटर बीजगणित. इस प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, पूर्णांकों पर अंकगणितीय संक्रियाओं को लागू करना सुविधाजनक है। इसके अलावा, जोड़ और घटाव अपेक्षाकृत "सस्ते" ऑपरेशन हैं, जबकि गुणा और भाग "महंगे" हैं। अंकगणितीय संक्रियाओं की जटिलता का आकलन करते समय, किसी को प्राथमिक संक्रिया (एकल-अंकीय) की लागत और बहु-अंकीय संख्याओं पर किसी भी संक्रिया को करने के लिए एकल-अंकीय संक्रियाओं की संख्या दोनों को ध्यान में रखना चाहिए। गुणन और विभाजन की जटिलता, सबसे पहले, इस तथ्य के कारण है कि जैसे-जैसे किसी संख्या की लंबाई बढ़ती है (किसी भी संख्या प्रणाली में इसकी रिकॉर्डिंग), रैखिक के विपरीत, द्विघात कानून के अनुसार प्राथमिक संचालन की संख्या बढ़ जाती है जोड़ और घटाव का नियम. इसके अलावा, जिसे हम आम तौर पर बहु-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम कहते हैं, वह वास्तव में भागफल के संभावित अगले अंक की खोज (अक्सर काफी महत्वपूर्ण) पर आधारित होता है, और केवल एकल-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियमों का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है नंबर. यदि संख्या प्रणाली का आधार बड़ा है (अक्सर यह 2 30 के क्रम पर हो सकता है), तो यह विधि अप्रभावी है।

मान लीजिए कि यह एक प्राकृतिक संख्या है (दशमलव प्रणाली में लिखी गई है)। उसका रिकॉर्ड हासिल करने के लिए -एरी संख्या प्रणाली में, आप निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं (संख्या के पूर्णांक भाग को दर्शाता है):

दिया गया: दशमलव संख्या प्रणाली में ए-प्राकृतिक संख्या k > 1-प्राकृतिक संख्या की आवश्यकता: ए-के-एरी संख्या प्रणाली में संख्या ए की रिकॉर्डिंग प्रारंभ i:= 0 चक्र जब तक A > 0 bi:= A (mod k) ) A:= i:= i + चक्र का 1 अंत dA:= i - 1 अंत

किसी दशमलव संख्या को उसके k-ary नोटेशन के अनुक्रम से पुनर्स्थापित करने के लिए, निम्नलिखित एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:

दिया गया: k > 1-k-ary प्रणाली में संख्या A का प्रतिनिधित्व करने वाले अंकों का प्राकृतिक संख्या अनुक्रम आवश्यक: A-दशमलव संख्या प्रणाली में संख्या A की रिकॉर्डिंग प्रारंभ A:= अनुक्रम के अंत तक 0 चक्र b:= अनुक्रम का अगला तत्व A:= A * k + b लूप का अंत

1.2. व्यायाम। बताएं कि किसी संख्या को दशमलव प्रणाली से k-ary प्रणाली में बदलने के लिए विभाजन का उपयोग क्यों किया जाता है, और k-ary प्रणाली से दशमलव प्रणाली में बदलने के लिए गुणन का उपयोग क्यों किया जाता है।

दशमलव संख्या प्रणाली में दो दो अंकों की संख्याओं को "कॉलम" से गुणा करके, हम निम्नलिखित ऑपरेशन करते हैं:

(10ए + बी)(10सी + डी) = 100एसी + 10(एडी + बीसी) + बीडी,

यानी एकल-अंकीय संख्याओं के गुणन की 4 संक्रियाएं, जोड़ की 3 संक्रियाएं और मूलांक की एक घात से गुणन की 2 संक्रियाएं, जो एक बदलाव में कम हो जाती हैं। जटिलता का आकलन करते समय, आप सभी प्राथमिक परिचालनों को वजन से विभाजित किए बिना ध्यान में रख सकते हैं (इस उदाहरण में हमारे पास 9 प्राथमिक संचालन हैं)। इस दृष्टिकोण के साथ, एल्गोरिदम को अनुकूलित करने की समस्या प्राथमिक संचालन की कुल संख्या को कम करने तक कम हो जाती है। हालाँकि, यह माना जा सकता है कि गुणन जोड़ की तुलना में अधिक "महंगा" ऑपरेशन है, जो बदले में, शिफ्ट की तुलना में "अधिक महंगा" है। केवल सबसे महंगे ऑपरेशनों को ध्यान में रखते हुए, हमें वह मिलता है गुणकएक कॉलम में दो अंकों की संख्याओं को गुणा करने की कठिनाई 4 है।

धारा 5 सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना के लिए एल्गोरिदम पर चर्चा करती है और उनकी जटिलता का मूल्यांकन करती है।

माना गया प्रतिनिधित्व पूर्णांकों का एकमात्र विहित प्रतिनिधित्व नहीं है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक विहित प्रतिनिधित्व चुनने के लिए, आप एक प्राकृतिक संख्या के अभाज्य कारकों में अपघटन की विशिष्टता का उपयोग कर सकते हैं। पूर्णांक के इस प्रतिनिधित्व का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां केवल गुणा और भाग संचालन का उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे बहुत "सस्ते" हो जाते हैं, लेकिन जोड़ और घटाव संचालन की लागत असंगत रूप से बढ़ जाती है, जो इस तरह के प्रतिनिधित्व के उपयोग को रोकती है। कुछ समस्याओं में, विहित प्रतिनिधित्व को छोड़ने से प्रदर्शन में महत्वपूर्ण लाभ मिलता है, विशेष रूप से, किसी संख्या के आंशिक गुणनखंडन का उपयोग किया जा सकता है; संख्याओं के साथ नहीं, बल्कि बहुपदों के साथ काम करते समय एक समान विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है।

यदि यह ज्ञात है कि कार्यक्रम के संचालन के दौरान, गणना में आने वाले सभी पूर्णांक कुछ दिए गए स्थिरांक द्वारा निरपेक्ष मान में सीमित होते हैं, तो ऐसी संख्याओं को परिभाषित करने के लिए, कोई उनके अवशेषों की प्रणाली का उपयोग कुछ सहअभाज्य संख्याओं का उपयोग कर सकता है, जिसका उत्पाद अधिक होता है उल्लिखित स्थिरांक. अवशेष वर्गों के साथ गणना आम तौर पर बहु-सटीक अंकगणित की तुलना में तेज़ होती है। और इस दृष्टिकोण के साथ, एकाधिक परिशुद्धता अंकगणित का उपयोग केवल जानकारी दर्ज करते या आउटपुट करते समय किया जाना चाहिए।

ध्यान दें, सिस्टम में विहित अभ्यावेदन के साथ कंप्यूटर बीजगणितअन्य निरूपणों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, यह वांछनीय है कि पूर्णांक के सामने "+" चिह्न की उपस्थिति या अनुपस्थिति कंप्यूटर की इसके बारे में धारणा को प्रभावित नहीं करती है। इस प्रकार, सकारात्मक संख्याओं के लिए, एक अस्पष्ट प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है, हालांकि नकारात्मक संख्याओं का रूप विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

एक और आवश्यकता यह है कि किसी संख्या की धारणा पहले महत्वपूर्ण अंक से पहले शून्य की उपस्थिति से प्रभावित नहीं होनी चाहिए।

1.3. व्यायाम।

1. एम-अंकीय संख्या को एन-अंकीय कॉलम से गुणा करते समय उपयोग किए जाने वाले एकल-अंकीय गुणन की संख्या का अनुमान लगाएं।
2. दिखाएँ कि दो दो अंकों की संख्याओं को केवल 3 एकल-अंकीय गुणन का उपयोग करके और योगों की संख्या बढ़ाकर गुणा किया जा सकता है।
3. लंबी संख्याओं को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिदम खोजें जिसमें भागफल का पहला अंक ज्ञात करते समय बहुत अधिक खोज की आवश्यकता न हो।
4. प्राकृतिक संख्याओं को m-ary संख्या प्रणाली से n-ary संख्या प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन करें।
5. में रोमन क्रमांकनसंख्याएँ लिखने के लिए निम्नलिखित प्रतीकों का उपयोग किया जाता है: I - एक, V - पाँच, X - दस, L - पचास, C - एक सौ, D - पाँच सौ, M - हजार। किसी प्रतीक के दाईं ओर बड़ी संख्या का प्रतीक होने पर उसे नकारात्मक माना जाता है, अन्यथा सकारात्मक माना जाता है। उदाहरण के लिए, इस प्रणाली में संख्या 1948 इस प्रकार लिखी जाएगी: MCMXLVIII। किसी संख्या को रोमन से दशमलव और उसके पीछे परिवर्तित करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें। परिणामी एल्गोरिदम को एल्गोरिथम भाषाओं में से एक में लागू करें (उदाहरण के लिए, सी)। स्रोत डेटा पर सीमाएँ: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. रोमन अंकन में प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें और एक प्रोग्राम लिखें।
7. हम कहेंगे कि हम एक संख्या प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं मिश्रित या सदिश आधार, यदि हमें n प्राकृतिक संख्याओं का एक वेक्टर दिया गया है M = (m 1 , . . . , m n) (मूलांक) और अंकन K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) संख्या को दर्शाता है के = के 0 +एम 1 (के 1 +एम 2 (के 2 +· · ·+एम एन·के एन)...)). एक प्रोग्राम लिखें, जो डेटा (सप्ताह का दिन, घंटे, मिनट, सेकंड) के आधार पर यह निर्धारित करता है कि सप्ताह की शुरुआत के बाद से कितने सेकंड बीत चुके हैं (सोमवार, 0, 0, 0) = 0, और विपरीत परिवर्तन करता है।

हार।एक वलय K को पूर्णांकों का वलय कहा जाता है यदि वलय K का योगात्मक समूह पूर्णांकों का योगात्मक समूह है और वलय K में गुणन क्रमविनिमेय है और प्राकृतिक संख्याओं के गुणन को जारी रखता है (N प्राकृतिक संख्याओं की प्रणाली में)।

टी1.होने देना - पूर्णांकों का योगात्मक समूह, इसमें प्राकृतिक गुणन होता है और 1 एन प्राकृतिक संख्याओं की प्रणाली की इकाई है। फिर बीजगणित Z= पूर्णांकों का एक वलय है.

डॉक्टर.आइए हम दिखाते हैं कि बीजगणित Z एक क्रमविनिमेय वलय है। शर्त के अनुसार, बीजगणित - किसी रिंग का योगात्मक समूह एक एबेलियन समूह है, जैसे पूर्णांकों का योगात्मक समूह।

मान लीजिए कि a, b, c समुच्चय Z के मनमाने तत्व हैं। इन्हें प्राकृतिक संख्याओं के आनंद के रूप में दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N)।

Z में प्राकृतिक गुणन सूत्र (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

प्राकृतिक गुणन क्रमविनिमेय है, क्योंकि b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm), और प्राकृतिक संख्याओं का जोड़ और गुणन क्रमविनिमेय है।

प्राकृतिक गुणन साहचर्य है। वास्तव में, (1) और (2) के आधार पर हमारे पास है:

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr +एनपीआर+एनक्यूएस);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs +एमक्यूआर+एनपीआर).

इसलिए, प्राकृतिक संख्याओं के योग की क्रमविनिमेयता के कारण, a*(b*c)= (a*b)*c.

तत्व 1 प्राकृतिक गुणन के संबंध में तटस्थ है। वास्तव में, 2 में से किसी भी a के लिए हमारे पास a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a है।

इसलिए बीजगणित एक क्रमविनिमेय मोनोइड है।

हार।यदि पूर्णांक a और b के लिए एक प्राकृतिक संख्या k है, जैसे कि a + k = b और k 0, तो वे कहते हैं कि "a या b से छोटा है" और a लिखें बी यदि और केवल यदि बी

टी2.चलो Z= पूर्णांकों की अंगूठी. फिर: 1) किसी भी पूर्णांक ए और बी के लिए, तीन शर्तों में से केवल एक ही संतुष्ट होती है: ए

2) किसी भी पूर्णांक ए के लिए, तीन शर्तों में से एक और केवल एक संतुष्ट होती है: ए<0, a=0, 0

3) रवैया< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

ए

4) रवैया<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

यदि एक 0, फिर ए.सी

टी. शेषफल के साथ विभाजन के बारे में।मान लीजिए a एक पूर्णांक है और b शून्य के अलावा एक प्राकृत संख्या है। किसी संख्या a और b को शेषफल से विभाजित करने का अर्थ है इसे a=bq+r के रूप में प्रस्तुत करना, जहाँ 0 r

शेषफल के साथ विभाजन हमेशा संभव होता है, और आंशिक भागफल और शेषफल लाभांश और भाजक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।

टी।किसी भी पूर्णांक a, b और b>0 के लिए, पूर्णांक q और r की एक अद्वितीय जोड़ी होती है जो शर्तों को पूरा करती है: (1) a=bq+r और 0 r

डॉक्टर.आइए हम सिद्ध करें कि संख्याओं q, r का कम से कम एक जोड़ा शर्तों (1) को संतुष्ट करता है। सबसे पहले, आइए उस मामले पर विचार करें जब a एक प्राकृतिक संख्या है। हम b को ठीक करते हैं और a पर प्रेरण द्वारा साबित करते हैं कि (2) पूर्णांक q, r की एक जोड़ी मौजूद है जो (1) को संतुष्ट करती है।

a=0 के लिए, कथन (2) सत्य है, क्योंकि 0=b*0+0। आइए मान लें कि (2) a=n के लिए सत्य है, यानी। ऐसे पूर्णांक q, r हैं कि (3) n=bq+r और 0 r

महत्तम सामान्य भाजक।एक पूर्णांक c को पूर्णांक a 1, ..., a n का सामान्य भाजक कहा जाता है यदि c इनमें से प्रत्येक संख्या का भाजक है।

हार। पूर्णांकों a 1, ..., a n का सबसे बड़ा सामान्य भाजक उनका सामान्य भाजक है जो इन संख्याओं के किसी भी सामान्य भाजक से विभाज्य है।

पूर्णांक a 1 , …, a n को अपेक्षाकृत अभाज्य कहा जाता है यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर है।

संख्याओं a 1 , …, a n की gcd को gcd(a 1 , …, a n) से दर्शाया जाता है, इन संख्याओं की सकारात्मक gcd को nod(a 1 , …, a n) से दर्शाया जाता है।

अगला 1. यदि d पूर्णांक a 1, ..., a n का gcd है, तो इन संख्याओं के सभी सामान्य भाजक का सेट संख्या d के सभी भाजक के सेट के साथ मेल खाता है।

अगला 2. पूर्णांक a 1 , …, a n की कोई भी दो gcds संबद्ध हैं, अर्थात। केवल संकेत में अंतर हो सकता है। यदि d संख्याओं a 1, …, a n की gcd है, तो संख्या (-d) भी इन संख्याओं की gcd है।

यूक्लिड का एल्गोरिदम.दो पूर्णांकों की gcd ज्ञात करने की एक विधि।

प्रस्ताव। मान लीजिए a और b दो पूर्णांक हैं, b≠0 और (1) a=bq+r (0 r<|b|).

फिर node(a,b)=nod(b,r).

डॉक्टर. (1) से यह पता चलता है कि संख्या a और b का कोई भी सामान्य भाजक संख्या r=a-bq का भाजक है और संख्या b और r का कोई भी सामान्य भाजक संख्या a का भाजक है। इसलिए, संख्या a और b के सभी सामान्य भाजक का सेट संख्या b और r के सभी सामान्य भाजक के सेट के साथ मेल खाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्या a और b का धनात्मक उभयभाजक, संख्या b और r के धनात्मक उभयनिष्ठ भाजक के साथ मेल खाता है, अर्थात। नोड(ए,बी)=नोड(बी,आर).

यदि b|a, जहां b≥1, तो स्पष्ट रूप से node(a,b)=b. दो पूर्णांकों के नोड्स को खोजने के लिए, "अनुक्रमिक विभाजन" की एक विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे यूक्लिडियन एल्गोरिदम कहा जाता है। इस पद्धति का सार यह है कि, ऊपर सिद्ध प्रस्ताव के कारण, संख्याओं a और b के नोड्स को खोजने की समस्या को संख्याओं b और r के नोड्स को खोजने के सरल कार्य में बदल दिया जाता है, जहां 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

यदि a=0, तो b=0*c=0 और प्रमेय सत्य है। यदि a≠0, तो (1) से यह cd=1 का अनुसरण करता है। प्रमेय के अनुसार, समानता cd=1 से यह निष्कर्ष निकलता है कि d= 1. इसके अलावा, a=bd; इसलिये ए= बी. सिद्ध किया हुआ।

न्यूनतम समापवर्तक।एक पूर्णांक को पूर्णांक a 1, ..., a n का सामान्य गुणज कहा जाता है यदि यह इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

हार। पूर्णांकों a 1, ..., a n का लघुत्तम समापवर्त्य उनका उभयनिष्ठ गुणज है जो इन संख्याओं में से किसी भी उभयनिष्ठ गुणज को विभाजित करता है। ओबी-आई: एलसीएम(ए 1,…, ए एन)। शून्य से भिन्न संख्याओं a 1, ..., a n का धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य, के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

एसएल-आईई। पूर्णांकों a 1 , ..., a n के कोई भी दो लघुत्तम समापवर्त्य Z में संबद्ध हैं, अर्थात्। केवल संकेत में अंतर हो सकता है। यदि संख्या m LCM(a 1 , …, a n) है, तो संख्या (-m) LCM(a 1 , …, a n) है।

एसएल-आईई। यदि m संख्याओं a 1, ..., a n का लघुत्तम समापवर्त्य है, तो इन संख्याओं के सभी उभयनिष्ठ गुणजों का समुच्चय m के सभी गुणजों के समुच्चय से मेल खाता है।

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