विशेषता में राज्य परीक्षा के लिए

1. एक क्षेत्र के ऊपर रैखिक (वेक्टर) स्थान। उदाहरण। उपस्थान, सबसे सरल गुण। रैखिक निर्भरताऔर वेक्टर स्वतंत्रता।

2. सदिश समष्टि का आधार और आयाम। सदिशों की एक प्रणाली का समन्वय मैट्रिक्स। एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण। सदिश स्थानों की समरूपता.

3. सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र की बीजगणितीय निकटता।

4. पूर्णांकों का वलय. पूर्णांकों का क्रम. "सबसे बड़ा" और "सबसे छोटा" पूर्णांक के बारे में प्रमेय।

5. समूह, समूहों के उदाहरण. समूहों के सबसे सरल गुण. उपसमूह। समूहों की समरूपता और समरूपता।

6. पूर्णांकों की विभाज्यता के मूल गुण। सरल संख्याएँ. अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की अनंतता. भाज्य संख्या का विहित अपघटन और इसकी विशिष्टता।

7. क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय (रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता के लिए मानदंड)।

8. तुलना के मूल गुण। अवशेषों मॉड्यूलो की पूर्ण और कम की गई प्रणालियाँ। मोडुलो अवशेष वर्ग की अंगूठी। यूलर और फ़र्मेट के प्रमेय।

9. विभाज्यता के मानदंड की व्युत्पत्ति के लिए तुलना के सिद्धांत का अनुप्रयोग। किसी भिन्न को दशमलव में बदलना और उसकी अवधि की लंबाई निर्धारित करना।

10. एक बहुपद के काल्पनिक मूलों का वास्तविक गुणांकों के साथ संयुग्मन। मैदान पर अपरिवर्तनीय वास्तविक संख्याबहुपद.

11. एक चर के साथ रैखिक तुलना (समाधान योग्यता मानदंड, समाधान के तरीके)।

12. रैखिक समीकरणों की समतुल्य प्रणालियाँ। अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि।

13. अंगूठी. रिंग उदाहरण. अंगूठियों के सबसे सरल गुण। सब्रिंग. छल्लों की समरूपताएँ और समरूपताएँ। मैदान। फ़ील्ड उदाहरण. सबसे सरल गुण. परिमेय संख्याओं के क्षेत्र की न्यूनतमता.

14. प्राकृतिक संख्याएँ (प्राकृतिक संख्याओं के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की मूल बातें)। "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" प्राकृतिक संख्या पर प्रमेय।

15. एक क्षेत्र पर बहुपद। शेषफल के साथ विभाजन प्रमेय. दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक, इसके गुण और खोजने की विधियाँ।

16. द्विआधारी संबंध. तुल्यता संबंध. तुल्यता वर्ग, कारक सेट।

17. प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याओं के लिए गणितीय प्रेरण।

18. अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के गुण। पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्तक, उसके गुणधर्म और ज्ञात करने की विधियाँ।

19. सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र, संख्या क्षेत्र। किसी सम्मिश्र संख्या का ज्यामितीय निरूपण और त्रिकोणमितीय रूप।

20. पूर्णांकों के लिए शेषफल सहित विभाजन प्रमेय। पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक, इसके गुण और खोजने की विधियाँ।

21. सदिश समष्टि के रैखिक संचालक। एक रैखिक ऑपरेटर की कर्नेल और छवि। सदिश समष्टि के रैखिक संचालकों का बीजगणित। एक रैखिक ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors।

22. समतल के परिवर्तन, उनके गुण और असाइनमेंट के तरीके। समतल और उसके उपसमूहों के एफ़िन परिवर्तनों का समूह।

23. बहुभुज. बहुभुज का क्षेत्रफल. अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय.

24. समतुल्य और समान आकार के बहुभुज।

25. लोबचेव्स्की की ज्यामिति। ज्यामिति के सिद्धांतों की लोबाचेव्स्की प्रणाली की संगति।

26. लोबचेव्स्की की ज्यामिति में समानता की अवधारणा। लोबाचेव्स्की तल पर सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था।

27. आंदोलनों के सूत्र. समतल गतियों का वर्गीकरण. समस्या समाधान के लिए अनुप्रयोग.

28. दो तलों की पारस्परिक व्यवस्था, एक सीधी रेखा और एक तल, अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ (एक विश्लेषणात्मक प्रस्तुति में)।

29. प्रक्षेप्य परिवर्तन। अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय. प्रक्षेप्य परिवर्तनों के लिए सूत्र.

30. अदिश, सदिश और सदिशों के मिश्रित उत्पाद, समस्या समाधान में उनका अनुप्रयोग।

31. त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के वेइल के स्वयंसिद्धों की प्रणाली और इसकी सार्थक स्थिरता।

32. समतल गतियाँ और उनके गुण। समतल गतियों का समूह. अस्तित्व का प्रमेय और गति की विशिष्टता।

33. प्रक्षेप्य तल और उसके मॉडल। प्रक्षेप्य परिवर्तन, उनके गुण। प्रक्षेपी परिवर्तनों का समूह.

34. समतल समानता परिवर्तन, उनके गुण। समतल समानता परिवर्तन समूह और उसके उपसमूह।

35. चिकनी सतहें. पहला द्विघात सतह स्वरूप और उसके अनुप्रयोग।

36. समानांतर डिज़ाइन और उसके गुण। समानांतर प्रक्षेपण में समतल और स्थानिक आकृतियों की छवि।

37. चिकनी रेखाएँ. स्थानिक वक्र की वक्रता और उसकी गणना।

38. शंकु खंड के रूप में दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। विहित समीकरण.

39. दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय की निर्देशिका संपत्ति। ध्रुवीय समीकरण.

40. एक सीधी रेखा के चार बिंदुओं का दोगुना अनुपात, इसके गुण और गणना। बिंदुओं के युग्मों का हार्मोनिक पृथक्करण। पूर्ण चतुर्भुज और उसके गुण। निर्माण समस्याओं को हल करने के लिए आवेदन.

41. पास्कल और ब्रायनचोन के प्रमेय। ध्रुव और ध्रुव.

कैलकुलस पर नमूना प्रश्न

जैसा कि आप जानते हैं, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को "इससे कम" संबंध का उपयोग करके क्रमबद्ध किया जा सकता है। लेकिन एक स्वयंसिद्ध सिद्धांत के निर्माण के नियमों की आवश्यकता है कि इस संबंध को न केवल परिभाषित किया जाए, बल्कि दिए गए सिद्धांत में पहले से परिभाषित अवधारणाओं के आधार पर भी किया जाए। इसे जोड़ के माध्यम से "इससे कम" अनुपात को परिभाषित करके किया जा सकता है।

परिभाषा। संख्या a, संख्या b से कम है (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = बी।

इन शर्तों के तहत, यह भी कहा जाता है कि संख्या बीअधिक एऔर लिखा बी > ए.

प्रमेय 12.किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए एऔर बीनिम्नलिखित तीन संबंधों में से केवल एक ही घटित होता है: ए = बी, ए > बी, ए < बी।

हम इस प्रमेय का प्रमाण छोड़ देते हैं।. इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि

ए ¹ बी,दोनों में से एक ए< b, या ए > बीवे। "से कम" संबंध में जुड़ाव का गुण होता है।

प्रमेय 13.अगर ए< b और बी< с. वह ए< с.

सबूत। यह प्रमेय "से कम" संबंध की परिवर्तनशीलता के गुण को व्यक्त करता है।

क्योंकि ए< b और बी< с. फिर, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ हैं कोतो क्या हुआ बी = ए + के और सी = बी + आई।परन्तु फिर सी = (ए + के)+ / और जोड़ की साहचर्यता संपत्ति के आधार पर हमें यह मिलता है: सी = ए + (के +/). क्योंकि के + आई -प्राकृतिक संख्या, फिर, "से कम" की परिभाषा के अनुसार, ए< с.

प्रमेय 14. अगर ए< b, यह सच नहीं है बी< а. सबूत। यह प्रमेय गुण को व्यक्त करता है प्रतिसममिति"कम" रिश्ता.

आइए पहले हम इसे किसी प्राकृत संख्या के लिए सिद्ध करें एतुम नहीं-!>! ■ )उसका रवैया ए< एक।इसके विपरीत मान लें, अर्थात क्या ए< а घटित होना। फिर, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, ऐसी एक प्राकृतिक संख्या होती है साथ,क्या ए+ साथ= ए,और यह प्रमेय 6 का खंडन करता है।

आइए अब हम यह सिद्ध करें कि यदि ए< बी, तो यह सच नहीं है बी < एक।इसके विपरीत मान लें, अर्थात क्या हो अगर ए< b , वह बी< а प्रदर्शन किया। लेकिन इन समानताओं से, प्रमेय 12 के अनुसार, हमारे पास है ए< а, जो असंभव है.

चूंकि हमने जो "इससे कम" संबंध परिभाषित किया है वह एंटीसिमेट्रिक और संक्रमणीय है और इसमें कनेक्टिविटी गुण है, यह संबंध है रैखिक क्रम, और प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट।

"इससे कम" की परिभाषा और इसके गुणों से, प्राकृतिक संख्याओं के सेट के ज्ञात गुणों का अनुमान लगाया जा सकता है।

प्रमेय 15.सभी प्राकृतिक संख्याओं में से एक सबसे छोटी संख्या है, अर्थात मैं< а для любого натурального числа a¹1.

सबूत। होने देना ए -कोई प्राकृतिक संख्या. तब दो स्थितियाँ संभव हैं: ए = 1 और एक ¹ 1. यदि ए = 1, तो एक प्राकृत संख्या है बी,के बाद ए: ए \u003d बी " \u003d बी +मैं = 1 + बी,यानी, "इससे कम" की परिभाषा के अनुसार, 1< एक।इसलिए, कोई भी प्राकृत संख्या 1 के बराबर या 1 से बड़ी होती है। या, एक सबसे छोटी प्राकृत संख्या होती है।

"से कम" का संबंध एकरसता के गुणों द्वारा संख्याओं के योग और गुणन से जुड़ा है।

प्रमेय 16.

ए = बी => ए + सी = बी + सी और ए सी = बी सी;

ए< b =>ए + सी< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c और ac > bc।

सबूत। 1) इस कथन की वैधता जोड़ और गुणा की विशिष्टता से निकलती है।

2) यदि ए< b, तो वहाँ एक प्राकृतिक संख्या है क,क्या ए + के = बी.
तब बी+ सी = (ए + के) + सी = ए + (के + सी) = ए + (सी+ को)= (ए + सी) + के।समानता बी+ सी = (ए + सी) + केमतलब कि ए + सी< b + साथ।

इसी प्रकार यह बात भी सिद्ध हो गयी है ए< b =>ऐस< bс.

3) प्रमाण समान है.

प्रमेय 17(प्रमेय 16 के अनुरूप)।

1) ए+ सी = बी + सीया एसी ~ बीसी-Þ ए = बी

2) ए + सी< Ь + с या ऐस< ईसा पूर्वÞ ए< Ь:

3) ए + सी > बी+ के साथ या एसी > बीसीÞ ए > बी.

सबूत। उदाहरण के लिए, आइए इसे सिद्ध करें ऐस< bс चाहिए ए< b इसके विपरीत मान लें, अर्थात कि प्रमेय का निष्कर्ष मान्य नहीं है। तो यह नहीं हो सकता ए = बी.क्योंकि तब समानता कायम रहेगी एसी = बीसी(प्रमेय 16); नहीं हो सकता ए> बी,क्योंकि तब ऐसा होगा एसी > बीसी(प्रमेय!6). इसलिए, प्रमेय 12 के अनुसार, ए< b.

प्रमेय 16 और 17 से, कोई पद-दर-अवधि योग और असमानताओं के गुणन के लिए प्रसिद्ध नियमों का अनुमान लगा सकता है। हम उन्हें गिरा देते हैं.

प्रमेय 18. किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए एऔर बी; एक प्राकृत संख्या n ऐसी है एन बी> ए।

सबूत। किसी के लिए भी एऐसी एक संख्या है पी, क्या एन > ए.ऐसा करने के लिए, यह लेने के लिए पर्याप्त है एन = ए + 1. असमानताओं को पद दर पद गुणा करना पी> एऔर बी> 1, हमें मिलता है पंजाब > एक।

"से कम" संबंध के विचारित गुण प्राकृतिक संख्याओं के सेट की महत्वपूर्ण विशेषताएं दर्शाते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के प्रस्तुत करते हैं।

1. किसी प्राकृत संख्या के लिए नहीं एऐसी कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है पी,क्या ए< п < а + 1. इस संपत्ति को कहा जाता है संपत्ति
पृथक्ताप्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, और संख्याएँ एऔर एक + 1 को बुलाया गया पड़ोसी.

2. प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय शामिल है
सबसे छोटी संख्या.

3. यदि एम- प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का गैर-रिक्त उपसमुच्चय
और एक संख्या है बी,वह सभी संख्याओं के लिए x से एमप्रदर्शन नहीं किया
समानता एक्स< बी,फिर भीड़ में एमसबसे बड़ी संख्या है.

आइए गुण 2 और 3 को एक उदाहरण से स्पष्ट करें। होने देना एमदो अंकों की संख्याओं का एक समूह है। क्योंकि एमप्राकृतिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय है और इस सेट की सभी संख्याओं के लिए असमानता x है< 100, то в множестве एमसबसे बड़ी संख्या 99 है। दिए गए सेट में सबसे छोटी संख्या शामिल है एम, -नंबर 10.

इस प्रकार, "से कम" संबंध ने हमें प्राकृतिक संख्याओं के सेट के गुणों की एक महत्वपूर्ण संख्या पर विचार करने (और कुछ मामलों में साबित करने) की अनुमति दी। विशेष रूप से, यह रैखिक रूप से क्रमबद्ध है, असतत है, इसकी सबसे छोटी संख्या 1 है।

प्राकृतिक संख्याओं के अनुपात "कम" ("अधिक") से, युवा छात्र प्रशिक्षण की शुरुआत में ही परिचित हो जाते हैं। और अक्सर, इसकी सेट-सैद्धांतिक व्याख्या के साथ, स्वयंसिद्ध सिद्धांत के ढांचे के भीतर हमारे द्वारा दी गई परिभाषा का उपयोग अंतर्निहित रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, छात्र यह समझा सकते हैं कि 9 > 7 क्योंकि 9, 7+2 है। जोड़ और गुणन की एकरसता गुणों का अक्सर और अंतर्निहित उपयोग। उदाहरण के लिए, बच्चे समझाते हैं कि "6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

अभ्यास

1 प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को "तुरंत अनुसरण करें" संबंध द्वारा क्रमबद्ध क्यों नहीं किया जा सकता?

रिश्ते की एक परिभाषा तैयार करें ए > बीऔर सिद्ध करें कि यह सकर्मक और प्रतिसममित है।

3. सिद्ध करें कि यदि ए, बी, सीप्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो:

ए) ए< b Þ ас < bс;

बी) ए+ साथ< बी + सु> ए< Ь.

4. जोड़ और गुणन की एकरसता के बारे में कौन से प्रमेय हो सकते हैं
"गणना किए बिना तुलना करें" कार्य पूरा करते समय युवा छात्रों द्वारा उपयोग करें:

ए) 27 + 8 ... 27 + 18;

बी) 27-8...27-18.

5. निम्नलिखित कार्यों को करते समय युवा छात्रों द्वारा प्राकृतिक संख्याओं के सेट के किन गुणों का उपयोग किया जाता है:

ए) वे संख्याएँ लिखिए जो 65 से बड़ी और 75 से कम हैं।

बी) संख्या 300 (800,609,999) के संबंध में पिछली और बाद की संख्याओं को नाम दें।

C) तीन अंकों की सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या कौन सी है?

घटाव

प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माण में, घटाव को आमतौर पर जोड़ के व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। प्राकृत संख्याओं a और b का घटाव एक संक्रिया है जो इस शर्त को पूरा करती है: a - b = c यदि और केवल यदि b + c = a।

संख्या ए - बीसंख्याओं ए और के बीच का अंतर कहा जाता है बी,संख्या ए- घटती हुई, संख्या बी-घटाने योग्य.

प्रमेय 19.प्राकृतिक संख्याओं का अंतर ए- बीअस्तित्व में है यदि और केवल यदि बी< а.

सबूत। फर्क पड़ने दो ए- बीमौजूद। फिर, अंतर की परिभाषा के अनुसार, एक प्राकृतिक संख्या होती है साथ,क्या बी + सी = ए,और इसका मतलब यह है बी< а.

अगर बी< а, फिर, "इससे कम" संबंध की परिभाषा के अनुसार, एक प्राकृतिक संख्या c मौजूद है जैसे कि बी + सी = ए.फिर, अंतर की परिभाषा से, सी = ए - बी,वे। अंतर ए - बीमौजूद।

प्रमेय 20. यदि प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एऔर बीमौजूद है, तो यह अद्वितीय है.

सबूत। मान लीजिए दो हैं विभिन्न अर्थसंख्या अंतर एऔर बी;: ए - बी= सी₁और ए - बी= सी₂, और सी₁ ¹ सी₂ .फिर, अंतर की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: ए = बी + सी₁,और ए = बी + सी₂ : .अत: यह उसका अनुसरण करता है बी+ सी ₁ = बी + सी₂ :और प्रमेय 17 के आधार पर हम निष्कर्ष निकालते हैं, सी₁ = सी₂..हम धारणा के साथ विरोधाभास पर आ गए, जिसका अर्थ है कि यह गलत है, और यह प्रमेय सत्य है।

प्राकृतिक संख्याओं के अंतर की परिभाषा और उसके अस्तित्व की शर्तों के आधार पर, किसी संख्या को किसी संख्या से और किसी संख्या को किसी संख्या से घटाने के लिए प्रसिद्ध नियमों को प्रमाणित करना संभव है।

प्रमेय 21. होने देना एक। बीऔर साथ- पूर्णांक.

और अगर ए > सी, फिर (ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी।

ख) यदि बी > सी. फिर (ए + बी) - सी - ए + (बी - सी)।

ग) यदि ए > सी और बी > सी.तो आप इनमें से किसी भी फॉर्मूले का उपयोग कर सकते हैं।
सबूत। मामले में ए) संख्याओं का अंतर एऔर सीमौजूद है क्योंकि ए > सी.आइए इसे निरूपित करें एक्स: ए - सी = एक्स।कहाँ ए = सी + एक्स. अगर (ए+ बी) - सी = वाई।फिर, अंतर की परिभाषा से, ए+ बी = साथ+ पर. आइए हम इसके स्थान पर इस समानता को प्रतिस्थापित करें एअभिव्यक्ति सी + एक्स:(सी + एक्स) + बी = सी + वाई।आइए जोड़ की साहचर्यता संपत्ति का उपयोग करें: सी + (एक्स + बी) = सी+ पर. हम इस समानता को जोड़ की एकरसता के गुण के आधार पर बदलते हैं, हमें मिलता है:

एक्स + बी = वाई.इस समीकरण में x को व्यंजक से प्रतिस्थापित करना एसी,होगा (ए -जी) + बी = वाई.इस प्रकार, हमने यह सिद्ध कर दिया है कि यदि ए > सी, फिर (ए + बी) - सी = (ए - सी) + बी

प्रमाण इसी तरह से मामले बी में किया जाता है)।

सिद्ध प्रमेय को एक ऐसे नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है जिसे याद रखना आसान है: किसी संख्या को योग से घटाने के लिए, इस संख्या को योग के एक पद से घटाना और प्राप्त परिणाम में एक और पद जोड़ना पर्याप्त है।

प्रमेय 22.होने देना ए, बी और सी -पूर्णांक अगर ए > बी+ सी, फिर ए- (बी + सी) = (ए - बी) - सीया ए - (बी + सी) = (ए - सी) - बी।

इस सिद्धांत का प्रमाण प्रमेय 21 के प्रमाण के समान है।

प्रमेय 22 को एक नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है, किसी संख्या से संख्याओं का योग घटाने के लिए, इस संख्या से प्रत्येक पद को एक के बाद एक क्रमिक रूप से घटाना पर्याप्त है।

प्रारंभिक गणित शिक्षा में, जोड़ के व्युत्क्रम के रूप में घटाव की परिभाषा आमतौर पर सामान्य रूप में नहीं दी जाती है, लेकिन एकल-अंकीय संख्याओं पर संचालन करने से शुरू करके इसका लगातार उपयोग किया जाता है। छात्रों को अच्छी तरह से पता होना चाहिए कि घटाव का संबंध जोड़ से है और गणना करते समय इस संबंध का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, संख्या 40 में से संख्या 16 को घटाने पर, छात्र इस प्रकार तर्क देते हैं: “संख्या 16 को 40 में से घटाएँ - एक संख्या खोजने का क्या मतलब है, जो संख्या 16 में जोड़ने पर 40 देता है; यह संख्या 24 होगी, चूँकि 24 + 16 = 40। 40 - 16 = 24"।

प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में किसी संख्या को योग से और किसी संख्या को योग से घटाने के नियम हैं सैद्धांतिक आधारगणना के विभिन्न तरीके. उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (40 + 16) - 10 का मान न केवल कोष्ठक में योग की गणना करके और फिर उसमें से संख्या 10 घटाकर पाया जा सकता है, बल्कि इस तरह से भी पाया जा सकता है;

ए) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

बी) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46।

अभ्यास

1. क्या यह सत्य है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या ठीक अगले वाली संख्या में से एक घटाकर प्राप्त की जाती है?

2. प्रमेय 19 की तार्किक संरचना की विशेषता क्या है? क्या इसे "आवश्यक और पर्याप्त" शब्दों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है?

3. सिद्ध करें कि:

और अगर बी > सी,वह (ए + बी) - सी \u003d ए + (बी - सी);

बी) यदि ए > बी + सी, वह ए - (बी+ सी) = (ए - बी) - सी।

4. क्या गणना किए बिना यह कहना संभव है कि कौन से भाव बराबर होंगे:

ए) (50 + 16) - 14; घ) 50 + (16 -14 ),

बी) (50 - 14) + 16; ई) 50 - (16 - 14);
सी) (50 - 14) - 16, एफ) (50 + 14) - 16।

ए) 50 - (16 + 14); घ) (50 - 14) + 16;

बी) (50 - 16) + 14; ई) (50 - 14) - 16;

ग) (50 - 16) - 14; ई) 50 - 16 - 14.

5. गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में अध्ययन की गई गणना की निम्नलिखित विधियों का सैद्धांतिक आधार घटाव के कौन से गुण हैं:

12 - 2-3 12 -5 = 7

बी) 16-7 = 16-6 - पी;

ग) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

घ) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45।

6. प्रपत्र की अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना के संभावित तरीकों का वर्णन करें। ए - बी- साथऔर उन्हें विशिष्ट उदाहरणों के साथ स्पष्ट करें।

7. इसके लिए सिद्ध करें बी< а और किसी भी प्राकृतिक सी समानता (ए - बी) सी \u003d एसी - बीसी।

अनुदेश. प्रमाण Axiom 4 पर आधारित है।

8. लिखित गणना किए बिना अभिव्यक्ति का मूल्य निर्धारित करें। उत्तरों का औचित्य सिद्ध करें.

ए) 7865 × 6 - 7865 × 5: बी) 957 × 11 - 957; ग) 12 × 36 - 7 × 36।

विभाजन

प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माण में, विभाजन को आमतौर पर गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा। प्राकृत संख्याओं a और b का विभाजन एक ऐसी संक्रिया है जो इस शर्त को पूरा करती है: a: b = c यदि और केवल यदि,को जब बी× सी = ए.

संख्या ए:बीबुलाया निजीनंबर एऔर बी,संख्या एविभाज्य, संख्या बी-विभाजक.

जैसा कि ज्ञात है, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विभाजन हमेशा मौजूद नहीं होता है, और भागफल के अस्तित्व के लिए कोई ऐसा सुविधाजनक मानदंड नहीं है जो किसी अंतर के लिए मौजूद हो। विशिष्ट के अस्तित्व के लिए केवल एक आवश्यक शर्त है।

प्रमेय 23.दो प्राकृतिक संख्याओं के भागफल के अस्तित्व के लिए एऔर बी, यह जरूरी है कि बी< а.

सबूत। मान लीजिए प्राकृतिक संख्याओं का भागफल है एऔर बीमौजूद है, यानी एक प्राकृत संख्या c ऐसी है बीसी = ए.चूँकि किसी भी प्राकृत संख्या 1 के लिए असमानता 1 £ है साथ,फिर, इसके दोनों भागों को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करें बी, हम पाते हैं बी£ बी.सी.लेकिन बीसी = ए,इस तरह, बी£ एक।

प्रमेय 24.यदि प्राकृत संख्याओं का भागफल एऔर बीमौजूद है, तो यह अद्वितीय है.

इस प्रमेय का प्रमाण प्राकृतिक संख्याओं के अंतर की विशिष्टता पर प्रमेय के प्रमाण के समान है।

आंशिक प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा और उसके अस्तित्व की शर्तों के आधार पर, किसी संख्या द्वारा योग (अंतर, उत्पाद) को विभाजित करने के प्रसिद्ध नियमों को प्रमाणित करना संभव है।

प्रमेय 25.यदि संख्याएँ एऔर बीसंख्या से विभाजित साथ,फिर उनका योग ए + बी c से विभाज्य है, और योग को विभाजित करने पर भागफल प्राप्त होता है ए+ बीप्रति संख्या साथ,भाग देने पर प्राप्त भागफल के योग के बराबर होता है एपर साथऔर बीपर साथ, अर्थात। (ए + बी):सी = ए: सी + बी:साथ।

सबूत। संख्या के बाद से एद्वारा विभाजित साथ,तो एक प्राकृत संख्या x = है ए;उस के साथ ए = सीएक्स.इसी प्रकार एक प्राकृत संख्या भी होती है वाई = बी:साथ,क्या

बी= सु.परन्तु फिर ए + बी = सीएक्स+ सु = - सी(एक्स + वाई).यह मतलब है कि ए + बी c से विभाज्य है, और योग को विभाजित करने पर भागफल प्राप्त होता है ए+ बीसंख्या c, x + के बराबर है हाँ,वे। कुल्हाड़ी + बी: सी.

सिद्ध प्रमेय को किसी योग को किसी संख्या से विभाजित करने के नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: योग को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, प्रत्येक पद को इस संख्या से विभाजित करना और परिणाम जोड़ना पर्याप्त है।

प्रमेय 26.यदि प्राकृतिक संख्याएँ एऔर बीसंख्या से विभाजित साथऔर ए > बीफिर अंतर ए - बी c से विभाज्य है, और अंतर को संख्या c से विभाजित करने पर प्राप्त भागफल, विभाजित करने पर प्राप्त भागफल के अंतर के बराबर होता है एपर साथऔर बीसे सी, यानी (ए - बी):सी = ए:सी - बी:सी।

इस प्रमेय का प्रमाण पिछले प्रमेय के प्रमाण के समान ही किया जाता है।

इस प्रमेय को किसी अंतर को किसी संख्या से विभाजित करने के नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: के लिएअंतर को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, न्यूनतम और घटाव को इस संख्या से विभाजित करना और पहले भागफल से दूसरे को घटाना पर्याप्त है।

प्रमेय 27.यदि एक प्राकृतिक संख्या एकिसी प्राकृतिक संख्या c से विभाज्य है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए बीकाम अबपी में विभाजित है. इस मामले में, उत्पाद को विभाजित करके प्राप्त भागफल अबसे संख्या तक , भाग देने पर प्राप्त भागफल के गुणनफल के बराबर होता है एपर साथ,और संख्याएँ बी: (ए × बी):सी - (ए:सी) × बी।

सबूत। क्योंकि एद्वारा विभाजित साथ,तो एक प्राकृत संख्या x ऐसी है एसी= एक्स, कहाँ से ए = सीएक्स.समीकरण के दोनों पक्षों को इससे गुणा करना बी,हम पाते हैं एबी = (सीएक्स)बी.चूँकि गुणन साहचर्य है, तो (सीएक्स) बी = सी(एक्स बी)।यहाँ से (ए बी): सी = एक्स बी = (ए: सी) बी।प्रमेय को किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करने के नियम के रूप में तैयार किया जा सकता है: किसी उत्पाद को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, किसी एक कारक को इस संख्या से विभाजित करना और परिणाम को दूसरे कारक से गुणा करना पर्याप्त है।

प्रारंभिक गणित शिक्षा में, गुणन के व्युत्क्रम की संक्रिया के रूप में भाग की परिभाषा, एक नियम के रूप में, सामान्य रूप में नहीं दी जाती है, लेकिन इसका लगातार उपयोग किया जाता है, जो कि भाग से परिचित होने के पहले पाठ से शुरू होता है। छात्रों को अच्छी तरह से पता होना चाहिए कि भाग का संबंध गुणन से है और गणना में इस संबंध का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, 48 को 16 से विभाजित करते समय, छात्र इस प्रकार तर्क करते हैं: “48 को 16 से विभाजित करने का अर्थ है एक संख्या खोजना, जिसे 16 से गुणा करने पर 48 होगी; यह संख्या 3 होगी, क्योंकि 16 × 3 = 48. इसलिए, 48: 16 = 3.

अभ्यास

1. सिद्ध करें कि:

ए) यदि प्राकृतिक संख्याओं का भागफल ए और बीअस्तित्व है, तो वह अद्वितीय है;

बी) यदि संख्याएँ ए और बीमें विभाजित हैं साथऔर ए > बीवह (ए - बी): सी = ए: सी - बी: सी।
2. क्या यह दावा करना संभव है कि दी गई सभी समानताएँ सत्य हैं:
ए) 48:(2×4) = 48:2:4; बी) 56:(2×7) = 56:7:2;

ग) 850:170 = 850:10:17।

कौन सा नियम इन मामलों का सामान्यीकरण है? इसका निरूपण करें और इसे सिद्ध करें।

3. विभाजन के कौन से गुण सैद्धांतिक आधार हैं?
स्कूली बच्चों को दिए गए निम्नलिखित कार्यों की पूर्ति प्राथमिक स्कूल:

क्या विभाजन किए बिना यह कहना संभव है कि किन भावों के मान समान होंगे?

ए) (40+ 8): 2; ग) 48:3; ई) (20+ 28): 2;

बी) (30 + 16):3; घ)(21+27):3; च) 48:2;

क्या समानताएँ सत्य हैं:

ए) 48:6:2 = 48:(6:2); बी) 96:4:2 = 96:(4-2);

ग) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के संभावित तरीकों का वर्णन करें
प्रकार:

ए) (ए+ बी):सी;बी) ए:बी: साथ; वी)( ए × बी): साथ .

विशिष्ट उदाहरणों के साथ प्रस्तावित विधियों का वर्णन करें।

5. अभिव्यक्ति के मूल्यों को तर्कसंगत तरीके से खोजें; उनका
कार्यों को उचित ठहराएँ:

ए) (7 × 63):7; ग) (15 × 18):(5× 6);

बी) (3 × 4× 5): 15; घ) (12 × 21): 14.

6. दो अंकों की संख्या से विभाजित करने की निम्नलिखित विधियों का औचित्य सिद्ध कीजिए:

ए) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

बी) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

ग) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

घ) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120।

7. एक कोने से विभाजित किए बिना, सबसे तर्कसंगत खोजें
निजी तरीका; चुनी गई विधि को उचित ठहराएँ:

क) 495:15; ग) 455:7; ई) 275:55;

6) 425:85; घ) 225:9; ई) 455:65।

व्याख्यान 34. गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के गुण

1. गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय। गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय के गुण।

2. संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के एक खंड की अवधारणा और एक परिमित समुच्चय के तत्वों की गिनती। क्रमवाचक और मात्रात्मक प्राकृतिक संख्याएँ।

"सबसे बड़े" और "सबसे छोटे" पूर्णांक पर प्रमेय

प्रमेय 4 (''सबसे छोटे'' पूर्णांक पर)। नीचे दिए गए पूर्णांकों के प्रत्येक गैर-रिक्त सेट में न्यूनतम वुस्लो होता है। (यहाँ, प्राकृतिक संख्याओं के मामले में, "उपसमुच्चय" शब्द के स्थान पर "समुच्चय" शब्द का प्रयोग किया गया है

सबूत। मान लीजिए कि O A C Z और A नीचे से घिरे हुए हैं, अर्थात्। 36? ज़वा? ए(बी< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

चलो अब बी ए.

फिर वा ए अफ़< а) и, значит, Уа А(а - Ь >के बारे में)।

हम फॉर्म ए - बी की सभी संख्याओं का एक सेट एम बनाते हैं, जहां ए सेट ए से होकर गुजरता है, यानी। एम = (सी [ सी = ए - बी, ए ई ए)

यह स्पष्ट है कि सेट एम खाली नहीं है, क्योंकि ए 74 0

जैसा कि ऊपर बताया गया है, एम सी एन। नतीजतन, प्राकृतिक संख्या प्रमेय (54, अध्याय III) के अनुसार, सेट एम में सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या एम होती है। फिर कुछ संख्या ए1 के लिए एम = ए1 - बी? ए, और, चूंकि एम, एम में सबसे छोटा है, तो वीए? पर< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

प्रमेय 5 ("सबसे बड़े" पूर्णांक पर)। उपरोक्त पूर्णांकों के सेट से घिरे किसी भी गैर-रिक्त में सबसे बड़ी संख्या होती है।

सबूत। मान लीजिए O 74 A C Z और A ऊपर से संख्या b से घिरे हैं, अर्थात। ? ZVa ई ए(ए< Ь). Тогда -а >b सभी संख्याओं के लिए a? एक।

नतीजतन, सेट एम (आर = -ए, ए? ए के साथ) खाली नहीं है और नीचे से संख्या (-6) से घिरा हुआ है। इसलिए, पिछले प्रमेय के अनुसार, समुच्चय M में सबसे छोटी संख्या है, अर्थात। इक्का? एमयू? एम (साथ< с).

इसका मतलब वाह? जैसा< -а), откуда Уа? А(-с >ए)

जेड विभिन्न रूपपूर्णांकों के लिए गणितीय प्रेरण की विधि। शेषफल के साथ विभाजन प्रमेय

प्रमेय 1 (गणितीय प्रेरण की विधि का पहला रूप)। मान लीजिए कि P(c) पूर्णांक 4 के समुच्चय Z पर परिभाषित एक-स्थानीय विधेय है। फिर यदि किसी संख्या a Z के लिए प्रस्ताव P(o) और एक मनमाने पूर्णांक K > a के लिए P(K) से P(K -4- 1) का अनुसरण करता है, तो प्रस्ताव P(r) सभी के लिए मान्य है पूर्णांक, t संख्याएँ c > a (अर्थात्, समुच्चय Z पर, विधेय कलन के लिए निम्नलिखित सूत्र सत्य है:

पी(ए) प्याज > + 1)) वीसी > एपी(सी)

किसी भी निश्चित पूर्णांक के लिए a

सबूत। मान लीजिए कि वाक्य P(c) के लिए प्रमेय की स्थिति में जो कुछ भी कहा गया है वह सत्य है, अर्थात।

1) पी(ए) - सत्य;

2) यूके एससी से + भी सत्य है।

इसके विपरीत से. मान लीजिए ऐसी कोई संख्या है

बी > ए, वह आरएफ) - गलत। यह स्पष्ट है कि b a, चूँकि P(a) सत्य है। हम समुच्चय बनाते हैं M = (z? > a, P(z) गलत है)।

फिर समुच्चय M 0 , चूँकि b? एम और एम- नीचे से संख्या ए से घिरा है। इसलिए, न्यूनतम पूर्णांक प्रमेय (प्रमेय 4, 2) द्वारा, समुच्चय M में सबसे छोटा पूर्णांक c होता है। अत: c > a, जिसका अर्थ है c - 1 > a।

आइए हम सिद्ध करें कि P(c-1) सत्य है। यदि c-1 = a, तो शर्त के आधार पर P(c-1) सत्य है।

मान लीजिए c-1 > a. तो फिर यह धारणा कि P(c - 1) गलत है, 1 के साथ सदस्यता का तात्पर्य है? एम, जो नहीं हो सकता, क्योंकि संख्या सी समुच्चय एम में सबसे छोटी है।

इस प्रकार c - 1 > a और P(c - 1) सत्य है।

इसलिए, इस प्रमेय की स्थिति के आधार पर, वाक्य Р((с- 1) + 1) सत्य है, अर्थात। आर(एस) सत्य है. यह संख्या c की पसंद का खंडन करता है, क्योंकि c? एम प्रमेय सिद्ध हो गया है।

ध्यान दें कि यह प्रमेय पीनो के अभिगृहीतों से परिणाम 1 को सामान्यीकृत करता है।

प्रमेय 2 (पूर्णांकों के लिए गणितीय प्रेरण की विधि का दूसरा रूप)। मान लीजिए P(c) पूर्णांकों के समुच्चय Z पर परिभाषित कोई एक-स्थानीय उपसर्ग है। फिर यदि पूर्वसर्ग P(c) कुछ पूर्णांक K के लिए और एक मनमाने पूर्णांक s K के लिए मान्य है तो प्रस्ताव P(c) की वैधता से असमानता K को संतुष्ट करने वाले सभी पूर्णांकों के लिए मान्य है< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >को।

इस प्रमेय का प्रमाण काफी हद तक प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक समान प्रमेय के प्रमाण को दोहराता है (प्रमेय 1, 55, अध्याय III)।

प्रमेय 3 (गणितीय प्रेरण की विधि का तीसरा रूप)। मान लीजिए P(c) पूर्णांकों के समुच्चय Z पर परिभाषित एक-स्थानीय विधेय है। फिर यदि P(c) प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के कुछ अनंत उपसमुच्चय M की सभी संख्याओं के लिए सत्य है और एक मनमाना पूर्णांक a के लिए, P(a) के सत्य से यह निष्कर्ष निकलता है कि P (a - 1) सत्य है, तो प्रस्ताव P(c) संख्याओं के सभी पूर्णांकों के लिए सत्य है।

प्रमाण प्राकृतिक संख्याओं के लिए संबंधित प्रमेय के प्रमाण के समान है।

हम इसे एक दिलचस्प अभ्यास के रूप में पेश करते हैं।

ध्यान दें कि व्यवहार में, गणितीय प्रेरण का तीसरा रूप दूसरों की तुलना में कम आम है। इसे इस तथ्य से समझाया गया है कि इसके अनुप्रयोग के लिए प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का एक अनंत उपसमुच्चय एम जानना आवश्यक है, जिसका उल्लेख प्रमेय में किया गया है। ऐसा सेट ढूँढना एक कठिन काम हो सकता है।

लेकिन अन्य रूपों की तुलना में तीसरे रूप का लाभ यह है कि इसकी सहायता से सभी पूर्णांकों के लिए प्रस्ताव P(c) सिद्ध हो जाता है।

नीचे हम तीसरे फॉर्म के आवेदन का एक दिलचस्प उदाहरण देते हैं। लेकिन पहले, आइए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा दें।

परिभाषा। पूर्णांक a का निरपेक्ष मान नियम द्वारा निर्धारित संख्या है

0 यदि ए ओ ए यदि ए > ओ

और यदि ए< 0.

इस प्रकार, यदि a 0 है, तो ? एन।

हम पाठक को निरपेक्ष मूल्य के निम्नलिखित गुणों को सिद्ध करने के अभ्यास के रूप में आमंत्रित करते हैं:

प्रमेय (शेषफल के साथ विभाजन पर)। किसी भी पूर्णांक a और b के लिए, जहाँ b 0, मौजूद है, और इसके अलावा, संख्याओं q U m का केवल एक जोड़ा है जैसे कि a r: bq + T A D।

सबूत।

1. एक जोड़ी का अस्तित्व (क्यू, एम)।

चलो ए, बी? Z और 0. आइए दिखाते हैं कि संख्याओं q की एक जोड़ी मौजूद है और शर्तों को संतुष्ट करती है

प्रमाण एक निश्चित संख्या बी के लिए संख्या ए पर तीसरे रूप में प्रेरण द्वारा किया जाता है।

एम = (एमएलएम = एन एलबीएल, एन? एन)।

जाहिर है, एम सी लेफ्टिनेंट एक मैपिंग एफ: एन एम है जो किसी भी एन के लिए नियम एफ (एन) = एनएलबीएल द्वारा परिभाषित है? एन, एक आक्षेप है. इसका मतलब है कि एम एन, यानी। एम अनंत है.

आइए हम सिद्ध करें कि एक मनमानी संख्या a के लिए? एम (और बी-निश्चित) संख्या क्यू और एम की एक जोड़ी के अस्तित्व पर प्रमेय का दावा सच है।

वास्तव में, चलो एक (- एम। फिर एक पीएफ! कुछ एन? एन के लिए।

यदि b > 0, तो a = n + 0. अब q = n और m 0 सेट करने पर, हमें संख्याओं q और m का आवश्यक युग्म प्राप्त होता है। यदि b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

आइए अब हम एक आगमनात्मक धारणा बनाएं। आइए मान लें कि एक मनमाना पूर्णांक c (और एक मनमाना निश्चित b 0) के लिए प्रमेय का दावा सत्य है, अर्थात, संख्याओं (q, m) का एक युग्म ऐसा है

आइए हम सिद्ध करें कि यह संख्या (1 के साथ) के लिए भी सत्य है। समानता c = bq -4- का तात्पर्य bq + (m - 1) से है। (1)

मामले संभव हैं.

1) m > 0. फिर 7" - 1 > 0. इस मामले में, सेटिंग - m - 1, हमें c - 1 - bq + Tl प्राप्त होता है, जहां जोड़ी (q, 7" 1,) स्पष्ट रूप से शर्त को पूरा करती है

0. फिर с - 1 bq1 + 711 , जहां q1

हम आसानी से यह सिद्ध कर सकते हैं कि 0< < Д.

इस प्रकार, यह कथन संख्याओं के युग्म के लिए भी सत्य है

प्रमेय का पहला भाग सिद्ध हो गया है।

पी. जोड़ी क्यू की विशिष्टता, आदि।

मान लीजिए कि संख्या a और b 0 के लिए संख्याओं (q, m) और (q1) के दो जोड़े हैं, तो (*) शर्तों को पूरा करना

आइए हम साबित करें कि वे मेल खाते हैं। तो चलो

और एक bq1 L O< Д.

इसका तात्पर्य यह है कि b(q1 -q) m - 7 1 1. इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है

यदि अब हम मान लें कि q ql, तो q - q1 0, जहाँ से lq - q1l 1. इन असमानताओं को पद दर पद संख्या lbl से गुणा करने पर, हमें φ प्राप्त होता है! - q11 डी. (3)

साथ ही, असमानताओं से 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

व्यायाम:

1. 51 में से प्रमेय 2 और 3 की उपपत्तियाँ पूरी करें।

2. प्रमेय 3, 1 का उपफल 2 सिद्ध करें।

3. साबित करें कि उपसमुच्चय H ⊂ Z, फॉर्म की सभी संख्याओं से मिलकर बना है< п + 1, 1 >(एन? एन), जोड़ और गुणा के तहत बंद है।

4. मान लीजिए कि H का मतलब अभ्यास 3 के समान सेट है। सिद्ध करें कि मैपिंग j : M शर्तों को पूरा करती है:

1) जे - आक्षेप;

2) किसी भी संख्या n, m के लिए j(n + m) = j(n) + j(m) और j(nm) = j(n) j(m) (अर्थात्, j बीजगणित की एक समरूपता करता है ( एन, 4, और (एच, + ,).

5. 2 में से प्रमेय 1 का प्रमाण पूरा करें।

6. सिद्ध करें कि किसी भी पूर्णांक a, b, c के लिए निम्नलिखित निहितार्थ सत्य हैं:

7. दूसरे और तीसरे प्रमेय को 3 से सिद्ध करें।

8. सिद्ध करें कि पूर्णांकों के वलय Z में शून्य भाजक नहीं होते हैं।

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शैक्षिक संस्करण

व्लादिमीर कोन्स्टेंटिनोविच कार्तशोव

गणित का परिचय

ट्यूटोरियल

संपादकीय तैयारी ओ. आई. मोलोकानोवा द्वारा, मूल लेआउट ए. पी. बोशचेंको द्वारा तैयार किया गया

„पीआर 020048 दिनांक 20.12.96

28 अगस्त 1999 को प्रकाशन हेतु हस्ताक्षरित। प्रारूप 60x84/16। कार्यालय मुद्रण. बूम. प्रकार। एम 2. उएल. तंदूर एल 8.2. उच.-एड. एल 8.3. प्रचलन 500 प्रतियाँ। आदेश 2

प्रकाशन गृह "परिवर्तन"

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