वास्तविक संख्याओं का पूर्णतया क्रमबद्ध सेट। एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट। विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट

एक सेट पीसी को एक द्विआधारी संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: 4) किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में ~ एक तत्व मौजूद होता है जो सभी के लिए होता है; इस प्रकार वी. यू. मी एक रैखिक रूप से क्रमित सेट है जो न्यूनतम स्थिति को संतुष्ट करता है। वी. एट की अवधारणा। मी का परिचय जी. कांटोर द्वारा किया गया था। वी. यू. का एक उदाहरण. मी. स्वाभाविक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के रूप में कार्य करता है प्राकृतिक संख्या. दूसरी ओर, प्राकृतिक क्रम के साथ वास्तविक संख्याओं का एक खंड V नहीं है। एम. वी. वाई का कोई उपसमुच्चय. एम. अपने आप में काफी व्यवस्थित है. V.u की एक सीमित संख्या का कार्तीय गुणनफल। मी. पूरी तरह से शब्दकोषीय क्रम संबंध द्वारा क्रमबद्ध है। एक रैखिक रूप से क्रमित सेट पूरी तरह से ऑर्डर किया जाता है यदि और केवल तभी जब इसमें प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए एंटीआइसोमोर्फिक (आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों की एंटीआइसोमोर्फिज्म देखें) वाला कोई उपसमुच्चय न हो। V. y का सबसे छोटा तत्व। एम. रनाज़. शून्य (और इसे 0 से दर्शाया जाता है)। किसी भी तत्व के कई नाम होते हैं। सेट पी का प्रारंभिक खंड। किसी भी तत्व के लिए जो पी में सबसे बड़ा नहीं है, उसके तुरंत बाद एक तत्व है; इसे आमतौर पर a+1 द्वारा दर्शाया जाता है। तत्त्व वी. यू. मी., जिसका कोई तत्काल पूर्ववर्ती नहीं है, सीमित करना कहलाता है। तुलना प्रमेय. किन्हीं दो वी. पर. के लिए. m. P1 और P2, निम्नलिखित स्थितियों में से एक और केवल एक घटित होती है: 1) P 1, P 2 के लिए समरूपी है, 2) P 1, समुच्चय P 2 के कुछ प्रारंभिक खंड के लिए समरूपी है, 3) P 2, समुच्चय के लिए समरूपी है। सेट P1 का प्रारंभिक खंड। पसंद सेट के सिद्धांत को सेट के सिद्धांत के सिद्धांतों में से एक के रूप में लेते हुए, कोई यह साबित कर सकता है कि किसी भी गैर-रिक्त सेट पर कोई ऑर्डर संबंध पेश कर सकता है जो इसे एक चर समीकरण में बदल देता है। मी. (अर्थात, किसी भी गैर-खाली सेट को पूरी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है)। यह प्रमेय, जिसे ज़र्मेलो का प्रमेय कहा जाता है, वास्तव में पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है। ज़र्मेलो का प्रमेय और तुलना प्रमेय सेटों की उनकी कार्डिनैलिटी के अनुसार तुलना करने के आधार के रूप में कार्य करते हैं। वी. के सामान्य प्रकार। एम. बुलाया ट्रांसफ़िनिट्स, या ट्रांसफ़िनिट संख्याएँ। लिट.: कैंटर जी., "मैथ. एन.", 1883, बीडी 21, एस. 51-8; अलेक्जेंड्रोव पी.एस., सेट और फ़ंक्शंस के सामान्य सिद्धांत का परिचय, एम.-एल., 1948; हॉसडॉर्फ एफ., सेट थ्योरी, ट्रांस। जर्मन से, एम.-एल., 1937; बॉर्बकी एन., सेट थ्योरी, ट्रांस। फ्रेंच से, एम., 1965; कुराटोव्स्की के., मोस्टोव्स्की ए., सेट थ्योरी, अंग्रेजी से अनुवादित, एम., 1970. बी. ए. एफिमोव, टी. एस. फोफानोवा।

मूल्य देखें पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेटअन्य शब्दकोशों में

गुच्छा- वज़न
बड़ा सौदा
रसातल
रसातल
अँधेरा
अँधेरा-अँधेरा
विषयों का अंधकार
एक गुच्छा
कौन
रेलगाड़ी का डिब्बा
दरार
मौत
बल
पर्यायवाची शब्दकोष

अत्यंत- सलाह पूर्णतया, पूर्णतया, बिना कमी के, बिना माप के। इसे पूरी तरह से मापें. | अत्यधिक, संतोष में, बहुतायत में। वे अच्छे से रहते हैं. | सब कुछ बिना किसी निशान के, पूर्ण रूप से, संपूर्ण रूप से, बिल्कुल, प्रचुर मात्रा में...
डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

गुच्छा- गुणा, आदि कई देखें।
डाहल का व्याख्यात्मक शब्दकोश

गुच्छा- भीड़, सी.एफ. (किताब)। 1. केवल इकाइयाँ किसी चीज़ की अनिश्चित काल तक बड़ी संख्या। कर्मी। तथ्य। मैंने अपने जीवन में कई बेहतरीन गायकों को सुना है। नेक्रासोव। 2. समग्रता......
उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

काफ़ी सलाह.- 1. पूरी तरह से, पूरी तरह से, पूरी तरह से।
एफ़्रेमोवा द्वारा व्याख्यात्मक शब्दकोश

बिलकुल नहीं सलाह. रज्जग.— 1. पूरी तरह से नहीं.
एफ़्रेमोवा द्वारा व्याख्यात्मक शब्दकोश

अत्यंत- सलाह पूरी तरह से, बहुत, पूरी तरह से। स्पष्टीकरण से संतुष्ट हों. योग्य व्यक्ति. भले ही मैं आनंद का पूरा स्वाद न चख पाऊं। पुश्किन।
उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

अत्यंत- सलाह पूरी तरह से, पूरी तरह से, पूरी तरह से। वी. प्रसन्न है. वी. तैयार. बी. निश्चित उत्तर. वी. पर्याप्त.
कुज़नेत्सोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

गुच्छा- -ए; बुध
1. बहुत बड़ी संख्या, किसी की संख्या, कुछ। एम. लोग. एम. तथ्य. खूब फूल उगाओ. सबूत प्रचुर है. महान एम. उदाहरण (बहुत...
कुज़नेत्सोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

पहुंच योग्य सेट- सभी पोर्टफोलियो के संभावित अपेक्षित रिटर्न और मानक विचलन जोड़े जिनका निर्माण संपत्तियों के दिए गए सेट से किया जा सकता है।
आर्थिक शब्दकोश

व्यवहार्य सेट (या अवसर सेट)- विभिन्न प्रकार के पोर्टफोलियो जो निवेशक द्वारा विचार की गई प्रतिभूतियों से बनाए जा सकते हैं।
आर्थिक शब्दकोश

गुच्छा- कुछ के अनुसार संयुक्त तत्वों, मापदंडों का एक सेट
गुण
आर्थिक शब्दकोश

स्वीकार्य समाधानों का सेट- वह क्षेत्र जिसके अंतर्गत इसका उत्पादन किया जा सकता है
निर्णयों का विकल्प निर्धारित लक्ष्यों और उपलब्ध संसाधनों द्वारा सीमित है।
आर्थिक शब्दकोश

सार्वसमुच्चय- , गणित में - एक SET जिसमें एक निश्चित गुण वाले सभी तत्व होते हैं। इसे काल्पनिक समुच्चय भी कहा जाता है, जिसमें सभी संभव को शामिल किया जाना चाहिए......
वैज्ञानिक एवं तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

गुच्छा- गणित में, सेट सिद्धांत देखें।

बेशुमार सेट- समुच्चय सिद्धांत की अवधारणा; एक अनंत समुच्चय जिसकी प्रमुखता गणनीय समुच्चय से अधिक होती है। उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक बेशुमार समुच्चय है।
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

खाली सेट- समुच्चय सिद्धांत की अवधारणा; खाली सेट - एक सेट जिसमें एक भी तत्व नहीं है; संकेत दिए है? या 0. एक खाली सेट की अवधारणा ("शून्य" की अवधारणा के समान) उत्पन्न होती है......
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

गणनीय समुच्चय- समुच्चय सिद्धांत की अवधारणा; गणनीय समुच्चय एक अनंत समुच्चय है जिसके तत्वों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा क्रमांकित किया जा सकता है। सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय......
बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

अनेक या अनेक आवश्यक कारण- एक कारणात्मक योजना जो यह समझाने के लिए कम से कम दो कारण प्रदान करती है कि क्या होता है।
समाजशास्त्रीय शब्दकोश

अनेक या अनेक संतोषजनक कारण- एक कारण योजना जो तब शुरू हो जाती है, जब किसी प्रारंभिक जानकारी के अभाव में, स्थिति विभिन्न प्रकार की व्याख्याओं की संभावना प्रदान करती है......
समाजशास्त्रीय शब्दकोश

कक्षा, सेट (तर्क और गणित में)- - वस्तुओं का एक सीमित या अनंत संग्रह, एक सामान्य विशेषता (संपत्ति या संबंध) द्वारा प्रतिष्ठित, कुछ संपूर्ण के रूप में कल्पना की गई। वस्तुएँ जो K बनाती हैं.........
दार्शनिक शब्दकोश

फजी सेट— - अस्पष्ट सीमाओं वाला एक सेट, जब सेट से संबंधित तत्वों से सेट से संबंधित नहीं होने वाले तत्वों में संक्रमण धीरे-धीरे, असहनीय रूप से होता है। क्लासिक में......
दार्शनिक शब्दकोश

सामान्य सेट- देखें: स्पष्ट परिभाषा में विरोधाभास।
दार्शनिक शब्दकोश

पूरी तरह- बिल्कुल, सलाह. पूरी तरह से, पूरी तरह से. वी. संतुष्ट है.
ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

गुच्छा- भरपूर, -ए, सीएफ। 1. बहुत बड़ी संख्या, किसी व्यक्ति या वस्तु की संख्या। एम. लोग. एम. मामले. सभी प्रकार के स्टॉक प्रचुर मात्रा में हैं। 2. गणित में: संयुक्त तत्वों का एक समूह......
ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट- एक गणितीय अवधारणा जो तत्वों को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने, व्यवस्थित करने के सहज विचारों को औपचारिक बनाती है। अनौपचारिक रूप से, एक सेट को आंशिक रूप से ऑर्डर किया जाता है यदि यह निर्दिष्ट किया जाता है कि कौन से तत्व हैं अनुसरण करनाकिस लिए (कौन से तत्व अधिकजो लोग)। सामान्य तौर पर, यह पता चल सकता है कि तत्वों के कुछ जोड़े संबंध से संबंधित नहीं हैं " इस प्रकार».

एक अमूर्त उदाहरण के रूप में, हम समावेशन संबंध द्वारा क्रमबद्ध तीन तत्वों (किसी दिए गए सेट का एक बूलियन) के सेट के सबसेट का एक सेट दे सकते हैं।

परिभाषा और उदाहरण

क्रम में, या आंशिक आदेश, एक सेट पर एक द्विआधारी संबंध है (कुछ सेट द्वारा परिभाषित) जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

वह समुच्चय जिस पर आंशिक क्रम संबंध दिया गया हो, कहलाता है आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया(अंग्रेज़ी) आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट, पॉसेट). पूरी तरह से सटीक होने के लिए, आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट एक जोड़ी है, जहां एक सेट है और ए आंशिक ऑर्डर संबंध है।

शब्दावली और संकेतन

आंशिक क्रम संबंध को आम तौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जो वास्तविक संख्याओं के सेट पर कम-से-या-बराबर संबंध के समान होता है। इसके अलावा, यदि , तो वे कहते हैं कि तत्व बढ़ता नहीं है, या क्या अधीनस्थ .

यदि और, तो वे लिखते हैं और कहते हैं कम, या क्या सख्ती से अधीनस्थ .

कभी-कभी, वास्तविक संख्याओं के सेट पर प्रसिद्ध "इससे कम या बराबर" संबंध से एक निश्चित सेट पर एक मनमाना क्रम को अलग करने के लिए, क्रमशः और के बजाय विशेष प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।

सख्त और गैर सख्त आदेश

ऐसा संबंध जो रिफ्लेक्सिविटी, ट्रांज़िटिविटी और एंटीसिममेट्री की शर्तों को पूरा करता है, उसे भी कहा जाता है सख्त नहीं, या प्रतिवर्ती क्रम. यदि रिफ्लेक्सिविटी की स्थिति को स्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है विरोधी-प्रतिक्रियाशीलता(तब प्रतिसममिति का गुण विषमता द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया जाएगा):

तब हमें परिभाषा मिलती है कठोर, या विरोधी प्रतिवर्ती आदेश.

अगर नहीं सख्त आदेशसेट पर, फिर संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया:

पर सख्त आदेश है. इसके विपरीत, यदि एक सख्त आदेश है, तो संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

एक गैर सख्त आदेश है.

इसलिए, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि सेट पर ढीले क्रम को परिभाषित किया जाए या सख्त आदेश को। परिणाम वही संरचना होगी. अंतर केवल शब्दावली और पदनाम में है।

उदाहरण

आइए क्रम संबंध का परिचय इस प्रकार दें: , यदि असमानता है। जाहिर है, प्रस्तुत संबंध वास्तव में एक आंशिक आदेश संबंध है।

परिभाषा और उदाहरण

क्रम में, या आंशिक आदेश, मंच पर $एम$ बुलाया द्विआधारी संबंध $\varphi$ पर $एम$ (कुछ सेट द्वारा परिभाषित $R_(\varphi) \subset M \times M$ ), निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना:

रिफ्लेक्सीविटी: $\forall a\; (ए \varphi ए)$
संक्रामिता: $\forall a, b, c\; (a \varphi b) \वेज (b \varphi c) \राइटएरो a \varphi c$
प्रतिसममिति: $\forall a, b\; (ए \वर्फी बी) \वेज (बी \वर्फी ए) \राइटएरो ए = बी$

गुच्छा $एम$ , जिस पर आंशिक क्रम संबंध निर्दिष्ट होता है, कहलाता है आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया(अंग्रेज़ी) आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट, पॉसेट). पूरी तरह से सटीक होने के लिए, आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट एक जोड़ी है $\लैंगल एम, \वर्फी \रंगल$ , कहाँ $एम$ - बहुत, और $\varphi$ - आंशिक आदेश संबंध पर $एम$ .

शब्दावली और संकेतन

आंशिक क्रम संबंध को आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है $\leqslant$ , वास्तविक संख्याओं के सेट पर "इससे कम या बराबर" संबंध के अनुरूप। उसी समय, यदि $ए\लेक्सलांट बी$ , तो वे कहते हैं कि तत्व $ए$ बढ़ता नहीं है $बी$ , या क्या $ए$ अधीनस्थ $बी$ .

अगर $ए\लेक्सलांट बी$ और $ए \neq बी$ , फिर वे लिखते हैं $ए< b$ , और वे ऐसा कहते हैं $ए$ कम $बी$ , या क्या $ए$ सख्ती से अधीनस्थ $बी$ .

कभी-कभी, किसी निश्चित सेट पर एक मनमाने क्रम को वास्तविक संख्याओं के सेट पर ज्ञात "इससे कम या बराबर" संबंध से अलग करने के लिए, इसके बजाय $\leqslant$ और $<$ विशेष वर्णों का उपयोग करें $\precurlyeq$ और $\prec$ क्रमश।

सख्त और गैर सख्त आदेश

$\forall a\; \नकारात्मक (एक \varphi ए)$

तब हमें परिभाषा मिलती है कठोर, या विरोधी प्रतिवर्ती आदेश.

अगर $\leqslant$ - सेट पर ढीला ऑर्डर $एम$ , फिर संबंध $<$ , के रूप में परिभाषित:

$ए< b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)$

पर सख्त आदेश है $एम$ . वापस अगर $<$ - सख्त आदेश, फिर रवैया $\leqslant$ , के रूप में परिभाषित

$a\leqslant b\; \overset(\mathrm(def))(\Longleftrightarrow) \; (ए< b) \vee (a = b)$

एक गैर सख्त आदेश है.

उदाहरण

$\vartriangleright$ जैसा कि ऊपर बताया गया है, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $गणितबीबी(आर)$ आंशिक रूप से कम या इसके बराबर द्वारा आदेश दिया गया $\leqslant$ .

$\vartriangleright$ होने देना $एम$ - अंतराल पर परिभाषित सभी वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट , अर्थात्, प्रपत्र के कार्य

f \colon \to \mathbb(R)

आइए ऑर्डर संबंध का परिचय दें $\leqslant$ पर $एम$ इस अनुसार। हम तो यही कहेंगे $f\leqslant जी$ , यदि सभी के लिए $x\in$ असमानता संतुष्ट है $f(x) \leqslant g(x)$ . जाहिर है, प्रस्तुत संबंध वास्तव में आंशिक आदेश संबंध है।

$\vartriangleright$ होने देना $एम$ - कुछ सेट. गुच्छा $\mathcal(पी)(एम)$ सभी उपसमुच्चय $एम$ (बूलियन कहा जाता है), आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेशित $एम\subseteq एन$ .

$\vartriangleright$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $\गणितबीबी(एन)$ विभाज्यता के संबंध में आंशिक रूप से आदेश दिया गया $म\मध्य एन$ .

विशेष प्रकार के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट

रैखिक रूप से क्रमित सेट

मुख्य लेख: रैखिक रूप से व्यवस्थित सेट

होने देना $\लैंगल एम, \लेक्सलैंट\रंगल$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है। मैं फ़िन $एम$ कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, फिर समुच्चय $एम$ बुलाया रैखिक रूप से क्रमबद्ध(अंग्रेज़ी) रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट). रैखिक क्रमित समुच्चय को भी कहा जाता है पूर्णतः व्यवस्थित(अंग्रेज़ी) पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट), या केवल, आदेशित सेट. इस प्रकार, किन्हीं दो तत्वों के लिए रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट में $ए$ और $बी$ संबंधों में से एक और केवल एक ही धारण करता है: या तो $ए, या ए=बी, या बी .$

इसके अलावा, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के किसी भी रैखिक रूप से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय को कहा जाता है जंजीर(अंग्रेज़ी) जंजीर), यानी, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में एक श्रृंखला $\लैंग्ल एम, \लेक्सलैंट \रैंग्ल$ - इसका एक उपसमुच्चय जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय हों।

आंशिक रूप से क्रमित सेटों के उपरोक्त उदाहरणों में से, केवल वास्तविक संख्याओं का सेट रैखिक रूप से क्रमबद्ध है। एक अंतराल पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट (मान लें कि $ए), बूलियन \mathcal(पी)(एम) (पर |एम|\geqslant 2), विभाज्यता संबंध वाली प्राकृतिक संख्याएँ रैखिक रूप से क्रमबद्ध नहीं होती हैं।$

रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट में, सबसे छोटे और न्यूनतम, साथ ही सबसे बड़े और अधिकतम की अवधारणाएं मेल खाती हैं।

सुव्यवस्थित सेट

मुख्य लेख: सुव्यवस्थित सेट

एक रैखिक क्रमित समुच्चय को कहा जाता है काफी व्यवस्थित(अंग्रेज़ी) सुव्यवस्थित) यदि इसके प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में सबसे छोटा तत्व है। तदनुसार, एक सेट पर ऑर्डर कहा जाता है बिल्कुल सही क्रम में(अंग्रेज़ी) अच्छी तरह से आदेश).

सुव्यवस्थित समुच्चय का एक उत्कृष्ट उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है $\गणितबीबी(एन)$ . यह कथन कि कोई भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय $\गणितबीबी(एन)$ इसमें गणितीय प्रेरण के सिद्धांत के समतुल्य सबसे छोटा तत्व शामिल है। रैखिक रूप से क्रमित लेकिन पूरी तरह से क्रमबद्ध नहीं किए गए सेट का एक उदाहरण गैर-नकारात्मक संख्याओं का सेट है $\mathbb(R)_(+) = $ x: x \geqslant 0$$ . वास्तव में, इसका उपसमुच्चय $$x: x > 1$$ इसमें सबसे छोटा तत्व नहीं है.

सुव्यवस्थित सेट सामान्य सेट सिद्धांत में अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर प्रमेय

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बारे में मौलिक प्रमेयों में शामिल हैं हॉसडॉर्फ़ अधिकतम सिद्धांतऔर कुराटोव्स्की-ज़ोर्न लेम्मा. ये कथन एक-दूसरे के समतुल्य हैं और अनिवार्य रूप से पसंद के तथाकथित सिद्धांत पर निर्भर करते हैं (वास्तव में, वे पसंद के सिद्धांत के बराबर हैं)।

साहित्य

अलेक्जेंड्रोव पी.एस.सेट सिद्धांत और सामान्य टोपोलॉजी का परिचय। - एम.: "विज्ञान", 1977. - 368 पी।

कोलमोगोरोव ए.एन., फ़ोमिन एस.वी.कार्यों और कार्यात्मक विश्लेषण के सिद्धांत के तत्व। - 7वाँ संस्करण। - एम.: "फ़िज़मैटलिट", 2004. - 572 पी। - आईएसबीएन 5-9221-0266-4
हॉसडॉर्फ़ एफ.समुच्चय सिद्धान्त। - चौथा संस्करण। - एम.: यूआरएसएस, 2007. - 304 पी। - आईएसबीएन 978-5-382-00127-2

यह सभी देखें

जाली
क्रमसूचक संख्या
पूर्व आदेश

cs:उपयोगकर्ता मैनुअल:पार्टर्डोहु:रेस्ज़बेनरेंडेज़ेट हल्माज़को:부분순서 nl:पार्टीले ऑर्डे ओसी:रिलेशन डी'ऑर्ड्रे आरओ:रिलाएसी डे ऑर्डिन एसएल:रिलैसिजा यूरेजेनोस्टिज़:偏序关系

अधिसूचना: इस लेख का प्रारंभिक आधार CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 की शर्तों के तहत http://ru.wikipedia.org में एक समान लेख था, जो था बाद में बदला, सुधारा और संपादित किया गया।

आइए सेट पर विचार करें, के बारे में कुछउन तत्वों के जोड़े जिनके बारे में यह ज्ञात है कि (अर्थात, सेट दिया गया है आदेश संबंध). क्रम संबंध को सेट के वर्ग के सबसेट के रूप में भी समझा जा सकता है: एक तालिका में जिसकी पंक्तियाँ और कॉलम सेट के तत्वों के अनुरूप होते हैं, कुछ कोशिकाओं को छायांकित किया जाता है - यदि एक कॉलम और एक पंक्ति के चौराहे पर सेल है फिर छायांकित।

बेशक, एक ऑर्डर संबंध कोई उपसमुच्चय नहीं है, इसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना होगा:

1) किसी के लिए ;

2) यदि तथा , तब ;

3) यदि और , तो .

आदेश संबंध, उदाहरण के लिए, एक पंक्ति पर संख्याओं की सामान्य तुलना (), सेटों का घोंसला बनाना (), संबंध "विभाजित करता है" (-विभाजित करता है)।

कभी-कभी आप कुछ अतिरिक्त गुणों को पूरा करने के लिए ऑर्डर संबंध चाहते हैं, उदाहरण के लिए, यदि कोई अतुलनीय तत्व नहीं हैं, यानी, किन्हीं दो तत्वों के बारे में और आप कह सकते हैं कि या तो, या, तो सेट का ऑर्डर कहा जाता है रैखिक क्रम: किसी सेट के सभी तत्वों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है।

थोड़ा आगे देखते हुए, हम कहेंगे कि किसी सेट के तत्वों का क्रम आवश्यक है, विशेष रूप से, वस्तुओं पर विचार करने में सक्षम होने के लिए प्रेरण द्वारा: मैं पहले पहले तत्व पर विचार करने, उसके लिए एक निश्चित कथन साबित करने में सक्षम होना चाहता हूं, और फिर, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि यह कथन पहले तत्वों के लिए सत्य है, इसे वें के लिए प्राप्त करें। प्राकृतिक संख्याओं के लिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में सबसे छोटा तत्व.

एक मनमाना आदेश संबंध और एक मनमाना सेट से कोई एक समान संपत्ति को पूरा करना चाहेगा: विचाराधीन सेट के किसी भी उपसमुच्चय में विचाराधीन आदेश संबंध के सापेक्ष सबसे छोटा तत्व होता है। यदि कोई सेट रैखिक रूप से क्रमबद्ध है, और, इसके अतिरिक्त, इसके किसी भी उपसमुच्चय में सबसे छोटे तत्व की पहचान की जा सकती है, तो इसे कहा जाता है काफी व्यवस्थित.

आइए सुव्यवस्थित सेटों के कुछ उदाहरण देखें।

खाली सेट।

गुच्छा ।

ध्यान दें कि ये सेट सदस्यता संबंध () के संबंध में क्रमबद्ध हैं। यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि ऐसे ऑर्डर संबंध के लिए तीन तत्वों का पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट कैसा दिखता है:

E सेट पिछले सेटों को मिलाकर प्राप्त किया जाता है।

परिभाषा. इस प्रकार निर्मित समुच्चय प्राकृतिक संख्या कहलाते हैं।

ये सभी समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं। इस बारे में सोचें कि अनंत का अभिगृहीत इस समुच्चय के अस्तित्व के लिए क्यों आवश्यक है (अनंत का अभिगृहीत देखें)।

मिखाइल रस्किन

सेट सिद्धांत में इस बारे में कई प्रसिद्ध प्रश्न हैं कि क्या कोई स्वयंसिद्ध किसी अन्य स्वयंसिद्ध (या परिकल्पना; एक स्वयंसिद्ध केवल एक परिकल्पना है जिसका उपयोग विशाल बहुमत द्वारा किया जाता है) का तात्पर्य है। गणित के अन्य क्षेत्रों की तरह, एक मॉडल का उपयोग करके अप्राप्यता का प्रदर्शन किया जा सकता है जिसमें धारणाएँ सत्य हैं लेकिन परिकल्पना सत्य नहीं है। ऐसे सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक का निर्माण करने के लिए, सेट सिद्धांत का एक मॉडल जिसमें प्राकृतिक श्रृंखला की कार्डिनैलिटी और वास्तविक रेखा के बीच एक मध्यवर्ती शक्ति होती है, कोहेन ने बल लगाने की विधि विकसित की।

विक्टर विक्टरोव

बुनियादी अवधारणाएँ, सेट पर संचालन, पहचान, पूरक के गुण, डी मॉर्गन का नियम, सममित अंतर के गुण; मानचित्रण (फ़ंक्शन), कारक मानचित्रण, तुल्यता संबंध, नाई का विरोधाभास; क्रमित समुच्चय, क्रमित समुच्चय में न्यूनतम, सबसे छोटा, अधिकतम और सबसे बड़े तत्व, प्रमुख और अप्रधान; पसंद का सिद्धांत, एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट।