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राज्य शैक्षिक संस्थाउच्च व्यावसायिक शिक्षा

मानविकी के लिए व्याटका स्टेट यूनिवर्सिटी

गणित के संकाय

विभाग गणितीय विश्लेषणऔर तरीके
गणित पढ़ाना

अंतिम योग्यता कार्य

विषय पर: पूर्णांकों का गॉस वलय।

पूरा हुआ:

5वें वर्ष का छात्र

गणित के संकाय

ग्नुसोव वी.वी.

___________________________

वैज्ञानिक सलाहकार:

विभाग के वरिष्ठ व्याख्याता

बीजगणित और ज्यामिति

सेमेनोव ए.एन.

___________________________

समीक्षक:

भौतिकी और गणित के उम्मीदवार विज्ञान, एसोसिएट प्रोफेसर

बीजगणित और ज्यामिति विभाग

कोव्याज़िना ई.एम.

___________________________

एसएसी में रक्षा के लिए भर्ती

सिर विभाग _________ वेचतोमोव ई.एम.

« »________________

संकाय के डीन ___________________ वारंकिना वी.आई.

« »________________

किरोव 2005

• परिचय। 2
• 3
• 4
• 1.2 शेष के साथ विभाजन। 5
• 1.3 जीसीडी। यूक्लिड एल्गोरिथम। 6
• 9
• 12
• 17
• निष्कर्ष। 23

परिचय।

जटिल पूर्णांकों के वलय की खोज कार्ल गॉस ने की थी और उनके नाम पर गाऊसी का नाम रखा गया था।

के। गॉस को दूसरी डिग्री की तुलना को हल करने के लिए एल्गोरिदम की खोज के संबंध में एक पूर्णांक की अवधारणा के विस्तार की संभावना और आवश्यकता का विचार आया। उन्होंने एक पूर्णांक की अवधारणा को फॉर्म की संख्याओं में स्थानांतरित कर दिया, जहां मनमानी पूर्णांक हैं, और समीकरण की जड़ है किसी दिए गए सेट पर, के। गॉस विभाज्यता के सिद्धांत के समान, विभाज्यता के सिद्धांत का निर्माण करने वाले पहले व्यक्ति थे। पूर्णांक। उन्होंने विभाज्यता के मूल गुणों की वैधता की पुष्टि की; ने दिखाया कि सम्मिश्र संख्याओं के वलय में केवल चार व्युत्क्रमणीय तत्व होते हैं: ; शेष के साथ विभाजन पर प्रमेय की वैधता को सिद्ध किया, प्रमुख कारकों में अपघटन की विशिष्टता पर प्रमेय; दिखाया कि कौन सी अभाज्य प्राकृत संख्याएँ वलय में अभाज्य बनी रहेंगी; सरल पूर्णांक सम्मिश्र संख्याओं की प्रकृति की खोज की।

के. गॉस द्वारा विकसित सिद्धांत, जिसका वर्णन उनके काम "अंकगणितीय जांच" में किया गया है, संख्या सिद्धांत और बीजगणित के लिए एक मौलिक खोज थी।

थीसिस के लिए निम्नलिखित लक्ष्य निर्धारित किए गए थे:

1. गॉस संख्याओं के वलय में विभाज्यता के सिद्धांत का विकास करें।

2. साधारण गाऊसी संख्याओं की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

3. साधारण डायोफैंटाइन समस्याओं को हल करने में गाऊसी संख्याओं के अनुप्रयोग को दर्शाइए।

अध्याय 1. गॉस संख्याओं के वलय में विभाज्यता।

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर विचार कीजिए। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की सादृश्यता से, इसमें पूर्णांकों के एक उपसमुच्चय को पहचाना जा सकता है। प्रपत्र की संख्याओं का एक समूह जहाँ सम्मिश्र पूर्णांक या गाऊसी संख्या कहलाएगी। यह जांचना आसान है कि रिंग के अभिगृहीत इस सेट के लिए सही हैं। अत: सम्मिश्र संख्याओं का यह समुच्चय एक वलय है और कहलाता है गाऊसी पूर्णांकों का वलय . आइए इसे इस रूप में निरूपित करें, क्योंकि यह तत्व द्वारा वलय का विस्तार है: ।

चूँकि गाऊसी संख्याओं का वलय सम्मिश्र संख्याओं का एक उपसमुच्चय है, इसलिए सम्मिश्र संख्याओं की कुछ परिभाषाएँ और गुण इसके लिए मान्य हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक गाऊसी संख्या एक बिंदु से शुरू होने वाले और पर समाप्त होने वाले वेक्टर से मेल खाती है। फलस्वरूप, मापांक गाऊसी संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि विचाराधीन सेट में, सबमॉड्यूल व्यंजक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है। इसलिए, कुछ मामलों में इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है नियम , अर्थात्, मापांक का वर्ग। इस तरह। हम आदर्श के निम्नलिखित गुणों को अलग कर सकते हैं। किसी भी गाऊसी संख्या के लिए, निम्नलिखित सत्य है:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

इन गुणों की वैधता को मॉड्यूल का उपयोग करके तुच्छ रूप से जांचा जाता है। पासिंग में, हम देखते हैं कि (2), (3), (5) किसी भी सम्मिश्र संख्याओं के लिए भी मान्य हैं।

गाऊसी संख्याओं का वलय भाजक 0 के बिना एक क्रमविनिमेय वलय है, क्योंकि यह सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र का एक उपखंड है। इसका तात्पर्य वलय की गुणनात्मक संकुचनशीलता से है, अर्थात्,

1.1 प्रतिवर्ती और मिश्र धातु तत्व।

आइए देखें कि कौन सी गाऊसी संख्याएं प्रतिवर्ती होंगी। यह गुणन द्वारा तटस्थ है। यदि एक गाऊसी संख्या प्रतिवर्ती , तो, परिभाषा के अनुसार, ऐसा मौजूद है कि मानदंडों के अनुसार, संपत्ति 3 के अनुसार, हमें मिलता है। लेकिन ये मानदंड स्वाभाविक हैं, इसलिए। इसलिए, संपत्ति 4, . इसके विपरीत, दिए गए समुच्चय के सभी अवयव व्युत्क्रमणीय होते हैं, क्योंकि। इसलिए, एक के बराबर मान वाली संख्याएँ प्रतिवर्ती होंगी, अर्थात्।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी गाऊसी संख्याएं प्रतिवर्ती नहीं होंगी। इसलिए, विभाज्यता के मुद्दे पर विचार करना दिलचस्प है। हमेशा की तरह, हम कहते हैं कि विभाजित है पर अगर ऐसा मौजूद है। किसी भी गाऊसी संख्या के लिए, साथ ही प्रतिवर्ती लोगों के लिए, गुण सत्य हैं।

(7)

(8)

(9)

(10)

, जहां (11)

(12)

(8), (9), (11), (12) आसानी से सत्यापित हो जाते हैं। वैधता (7) (2) से, और (10) से (6) का अनुसरण करती है। संपत्ति (9) के कारण, सेट के तत्व विभाज्यता के संबंध में उसी तरह व्यवहार करते हैं, और कहलाते हैं सम्बद्ध साथ। इसलिए, गाऊसी संख्याओं की संघ तक विभाज्यता पर विचार करना स्वाभाविक है। ज्यामितीय रूप से, जटिल तल पर, संबद्ध संख्याएं एक दूसरे से कई कोणों के रोटेशन से भिन्न होंगी।

1.2 शेष के साथ विभाजन।

इसे विभाजित करना आवश्यक हो, लेकिन विभाजन को पूरी तरह से बनाना असंभव है। हमें प्राप्त करना चाहिए, और साथ ही "छोटा" होना चाहिए। फिर हम दिखाएंगे कि गाऊसी संख्याओं के समुच्चय में शेषफल से भाग देने पर क्या अपूर्ण भागफल के रूप में लेना चाहिए।

लेम्मा 1. शेषफल के साथ विभाजन पर।

रिंग में शेष के साथ विभाजन संभव है, जिसमें शेष मानक में भाजक से कम है। अधिक सटीक, किसी के लिए तथा वहां होगा ऐसा है कि . जैसा आप सम्मिश्र संख्या के सबसे करीब ले जा सकते हैं गाऊसी संख्या।

सबूत।

सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में विभाजित करें। यह संभव है क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय एक क्षेत्र है। होने देना। वास्तविक संख्याओं और पूर्णांकों को पूर्णांकित करने पर, हमें क्रमशः, और प्राप्त होता है। होने देना। फिर

.

अब हम असमानता के दोनों भागों को गुणा करने पर, सम्मिश्र संख्याओं के मानदंड की बहुलता के कारण, वह प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, एक अपूर्ण भागफल के रूप में, कोई एक गाऊसी संख्या ले सकता है, जो कि देखने में आसान है, निकटतम है।

सी.टी.डी.

1.3 जीसीडी। यूक्लिड एल्गोरिथम।

हम रिंगों के लिए सबसे बड़े सामान्य भाजक की सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं। जीसीडी "ओम दो गाऊसी संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक होता है जो किसी अन्य उभयनिष्ठ भाजक से विभाज्य होता है।

जैसे पूर्णांकों के समुच्चय में, गाऊसी संख्याओं के समुच्चय में, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग GCD को खोजने के लिए किया जाता है।

इसके अलावा, गॉसियन नंबर दिए जाने दें। शेष के साथ विभाजित करें। यदि शेषफल 0 से भिन्न है, तो हम इस शेष से भाग देंगे, और जब तक संभव हो, हम शेषफलों को क्रमिक रूप से विभाजित करते रहेंगे। हमें समानता की एक श्रृंखला मिलती है:

, कहाँ पे

, कहाँ पे

, कहाँ पे

……………………….

, कहाँ पे

यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक जारी नहीं रह सकती है, क्योंकि हमारे पास मानदंडों का घटता क्रम है, और मानदंड गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

प्रमेय 2. जीसीडी के अस्तित्व पर।

यूक्लिड के एल्गोरिथ्म में गाऊसी संख्याओं पर लागू होता है तथा अंतिम शून्येतर शेषफल gcd है ( ).

सबूत।

आइए हम साबित करें कि यूक्लिडियन एल्गोरिथम में हम वास्तव में एक जीसीडी प्राप्त करते हैं।

1. नीचे से ऊपर तक समानता पर विचार करें।

अंतिम समानता से यह देखा जा सकता है कि इसलिए, से विभाज्य संख्याओं के योग के रूप में। चूंकि और, अगली पंक्ति देगी। और इसी तरह। इस प्रकार यह स्पष्ट है कि आई. अर्थात्, यह संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक है और।

आइए हम दिखाते हैं कि यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, जो कि उनके किसी भी अन्य सामान्य भाजक से विभाज्य है।

2. ऊपर से नीचे तक समानता पर विचार करें।

आज्ञा देना संख्याओं का एक मनमाना सामान्य भाजक हो और। फिर, से विभाज्य संख्याओं का अंतर, पहली समानता से मान्य है। दूसरी समानता से हमें वह मिलता है। इस प्रकार, प्रत्येक समानता में शेषफल को विभाज्य संख्याओं के अंतर के रूप में निरूपित करते हुए, हमें अंतिम समानता से वह प्राप्त होता है जिससे विभाज्य होता है।

सी.टी.डी.

लेम्मा 3. जीसीडी के प्रतिनिधित्व पर।

अगर जीसीडी( , )= , तो पूर्णांक गाऊसी संख्याएं हैं तथा , क्या .

सबूत।

आइए हम नीचे से ऊपर तक यूक्लिडियन एल्गोरिथम में प्राप्त समानता की श्रृंखला पर विचार करें। पिछले शेष के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति के शेष के बजाय लगातार प्रतिस्थापित करते हुए, हम और के माध्यम से व्यक्त करते हैं।

गाऊसी संख्या कहलाती है सरल , यदि इसे दो अपरिवर्तनीय कारकों के उत्पाद के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। अगला दावा स्पष्ट है।

कथन 4.

एक साधारण गाऊसी संख्या को एक व्युत्क्रमणीय संख्या से गुणा करने पर एक साधारण गाऊसी संख्या प्राप्त होती है।

कथन 5.

यदि हम एक गाऊसी संख्या के सबसे छोटे मान के साथ एक अपरिवर्तनीय भाजक लेते हैं, तो यह एक साधारण गाऊसी होगा।

सबूत।

मान लीजिए ऐसा भाजक एक भाज्य संख्या है। फिर, अपरिवर्तनीय गाऊसी संख्याएँ कहाँ और हैं। आइए हम मानदंडों को पास करें, और (3) के अनुसार हम इसे प्राप्त करते हैं। चूंकि ये मानदंड प्राकृतिक हैं, हमारे पास वह है, और (12) के आधार पर, एक अपरिवर्तनीय भाजक है दी गई संख्यागॉस, जो पसंद के विपरीत है।

कथन 6.

यदि एक एक अभाज्य गाऊसी संख्या से विभाज्य नहीं है , फिर जीसीडी( , )=1.

सबूत।

दरअसल, एक अभाज्य संख्या केवल 1 या के साथ संबद्ध संख्याओं से विभाज्य है . चूँकि यह से विभाज्य नहीं है , फिर के साथ संबद्ध भी साझा नहीं किया। इसका अर्थ है कि केवल उत्क्रमणीय संख्याएँ ही उनके उभयनिष्ठ भाजक होंगी।

लेम्मा 7. यूक्लिड का लेम्मा।

यदि गाऊसी संख्याओं का गुणनफल एक अभाज्य गाऊसी संख्या से विभाज्य है , तो कम से कम एक गुणनखंड द्वारा विभाज्य है .

सबूत।

प्रमाण के लिए, उस मामले पर विचार करना पर्याप्त है जब उत्पाद में केवल दो कारक हों। अर्थात्, हम दिखाते हैं कि if से विभाज्य है , तो या तो से विभाज्य है , या द्वारा विभाजित .

इसे में विभाजित न होने दें , फिर जीसीडी(, )=1. इसलिए, गाऊसी संख्याएँ और ऐसी हैं। समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें , हम इसे प्राप्त करते हैं, यह इस प्रकार है कि, द्वारा विभाज्य संख्याओं के योग के रूप में .

1.4 अंकगणित का मुख्य सिद्धांत।

किसी भी गैर-शून्य गाऊसी संख्या को साधारण गाऊसी संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, और यह प्रतिनिधित्व संघ और कारकों के क्रम तक अद्वितीय है।

टिप्पणी 1.

एक उत्क्रमणीय संख्या के विस्तार में शून्य अभाज्य गुणनखंड होते हैं, अर्थात इसे स्वयं द्वारा दर्शाया जाता है।

टिप्पणी 2.

अधिक सटीक रूप से, विशिष्टता निम्नानुसार तैयार की जाती है। यदि साधारण गाऊसी गुणनखंडों में दो गुणनखंड हैं, अर्थात्, , फिर और आप इस तरह के नंबरों को फिर से नंबर दे सकते हैं , क्या के साथ संबद्ध किया जाएगा , सभी के लिए 1 से . तक सहित।

सबूत।

हम इसे आदर्श पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करते हैं।

आधार। इकाई मानदंड वाली संख्या के लिए, अभिकथन स्पष्ट है।

आइए अब एक गैर-शून्य अपरिवर्तनीय गाऊसी संख्या बनें, और सभी गाऊसी संख्याओं के लिए अभिकथन से कम मानदंड साबित होता है।

आइए हम अभाज्य कारकों में अपघटन की संभावना को प्रदर्शित करें। ऐसा करने के लिए, हम सबसे छोटे मानदंड वाले अपरिवर्तनीय भाजक द्वारा निरूपित करते हैं। प्रस्ताव 5 के अनुसार यह भाजक एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए। इस प्रकार, हमारे पास है और, आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है। इसलिए, इन सरल और के उत्पाद में विघटित हो जाता है।

आइए हम अपघटन की विशिष्टता को प्रमुख कारकों में दिखाएं। ऐसा करने के लिए, हम इस तरह के दो मनमाने विस्तार लेते हैं:

यूक्लिड के लेम्मा के अनुसार, उत्पाद के कारकों में से एक को विभाज्य होना चाहिए। हम मान सकते हैं कि यह विभाज्य है, अन्यथा हम पुन: संख्यांकित करते हैं। चूंकि वे सरल हैं, जहां प्रतिवर्ती है। अपनी समानता के दोनों पक्षों को कम करके, हम एक ऐसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन प्राप्त करते हैं जो सामान्य से कम है।

आगमनात्मक धारणा से, और संख्याओं को इस तरह से पुन: क्रमित करना संभव है कि यह, साथ, ..., के साथ संबद्ध हो जाएगा। फिर इस नंबरिंग के लिए यह 1 से लेकर समावेशी तक सभी के लिए संयोजन है। इसलिए, प्रमुख कारकों में अपघटन अद्वितीय है।

एक जनित रिंग ओवर का एक उदाहरणओटीए के बिना।

विचार करना। इस वलय के अवयव उस रूप की संख्याएँ हैं जहाँ और स्वेच्छ पूर्णांक हैं। आइए हम दिखाते हैं कि अंकगणित का मूल प्रमेय इसमें नहीं है। हम इस वलय में एक संख्या के मानदंड को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: . यह वास्तव में आदर्श है, क्योंकि इसकी जांच करना कठिन नहीं है। चलो और। फिर

नोटिस जो।

आइए हम दिखाते हैं कि विचाराधीन रिंग में संख्याएँ अभाज्य हैं। वास्तव में, उनमें से एक होने दो और। तब हमारे पास है: चूंकि इस रिंग में मानदंड 2 के साथ कोई संख्या नहीं है, तो या। उलटा तत्व एक इकाई मानदंड के साथ संख्याएं होंगी और केवल वे। इसका मतलब यह है कि एक मनमाना गुणनखंड में एक उलटा कारक होता है, इसलिए, यह सरल है।

अध्याय 2. गाऊसी अभाज्य संख्याएँ।

यह समझने के लिए कि कौन सी गाऊसी संख्याएँ अभाज्य हैं, कई कथनों पर विचार करें।

प्रमेय 8.

प्रत्येक अभाज्य गाऊसी ठीक एक अभाज्य प्राकृतिक का भाजक है।

सबूत।

आइए एक साधारण गाऊसी बनें, फिर। मौलिक प्रमेय के अनुसार, प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणित अभाज्य प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल में विघटित हो जाता है। और यूक्लिड के प्रमेयिका द्वारा, उनमें से कम से कम एक विभाज्य है।

आइए अब हम दिखाते हैं कि एक साधारण गाऊसी दो अलग-अलग अभाज्य संख्याओं को विभाजित नहीं कर सकता है। वास्तव में, भले ही अलग-अलग अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ विभाज्य हों। चूँकि gcd () = 1, तब, पूर्णांकों में gcd के निरूपण पर प्रमेय द्वारा, वहाँ मौजूद हैं और ऐसे पूर्णांक हैं। इसलिए, जो सादगी के विपरीत है।

इस प्रकार, प्रत्येक सरल प्राकृतिक को सरल गाऊसी में विघटित करते हुए, हम सभी सरल गाऊसी की गणना करते हैं, और बिना दोहराव के।

निम्नलिखित प्रमेय से पता चलता है कि प्रत्येक अभाज्य प्राकृतिक संख्या अधिकतम दो साधारण गाऊसी संख्याओं पर "प्राप्त" करती है।

प्रमेय 9.

यदि एक साधारण प्राकृतिक कारक तीन सरल गाऊसी कारकों के उत्पाद में विघटित हो जाता है, तो कम से कम एक कारक उलटा होता है।

सबूत।

होने देना एक साधारण प्राकृतिक ऐसा है कि . नियमों की ओर मुड़ते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

प्राकृतिक संख्याओं में इस समानता से यह निम्नानुसार है कि कम से कम एक मानदंड 1 के बराबर है। इसलिए, कम से कम एक संख्या - प्रतिवर्ती।

लेम्मा 10.

यदि एक गाऊसी संख्या एक अभाज्य संख्या से विभाज्य है, तो u.

सबूत।

होने देना , वह है . फिर , , वह है , .

सी.टी.डी.

लेम्मा 11.

रूप की एक प्रमुख प्राकृतिक संख्या के लिए, एक प्राकृतिक मौजूद है जैसे कि।

सबूत।

विल्सन का प्रमेय कहता है कि एक पूर्णांक अभाज्य होता है यदि और केवल यदि। लेकिन यहाँ से। फैक्टोरियल का विस्तार और परिवर्तन करें:

इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं, अर्थात्। .

इस प्रकार, हमें वह मिला , कहाँ पे = .

अब हम सभी सरल गाऊसी संख्याओं का वर्णन करने के लिए तैयार हैं।

प्रमेय 12.

सभी साधारण गाऊसी को तीन समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

एक)। साधारण प्राकृतिक प्रजातियां साधारण गाऊसी हैं;

2))। दो एक अभाज्य गाऊसी संख्या के वर्ग से संबद्ध है;

3))। सरल प्राकृतिक प्रकार दो सरल संयुग्म गाऊसी के उत्पाद में विघटित हो जाते हैं।

सबूत।

1). हम मानते हैं कि एक साधारण प्राकृतिक मेहरबान एक साधारण गाऊसी नहीं है। फिर , तथा तथा . आइए नियमों पर चलते हैं: . इन असमानताओं को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं , वह है दो पूर्णांकों के वर्गों का योग है। लेकिन पूर्ण संख्याओं के वर्गों का योग 4 से विभाजित करने पर 3 का शेषफल नहीं दे सकता है।

2). नोटिस जो

.

संख्या एक साधारण गाऊसी है, अन्यथा दोनों तीन अपरिवर्तनीय कारकों में विघटित हो जाएंगे, जो प्रमेय 9 का खंडन करता है।

3). एक साधारण प्राकृतिक प्रकार दें , तो लेम्मा 11 द्वारा एक पूर्णांक मौजूद है ऐसा है कि . होने देना एक साधारण गाऊसी है। इसलिये , फिर यूक्लिड लेम्मा द्वारा कारकों में से कम से कम एक को विभाजित करता है। होने देना , तो एक गाऊसी संख्या है ऐसा है कि . काल्पनिक भागों के गुणांकों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि . फलस्वरूप, , जो सादगी की हमारी धारणा के विपरीत है . माध्यम एक मिश्रित गाऊसी है, जिसे दो सरल संयुग्म गाऊसी के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

सी.टी.डी.

कथन।

एक अभाज्य संख्या के साथ संयुग्मित एक गाऊसी संख्या स्वयं अभाज्य होती है।

सबूत।

मान लीजिए कि अभाज्य संख्या गाऊसी है। यह मानते हुए कि समग्र, अर्थात्। फिर संयुग्म पर विचार करें: अर्थात, दो अपरिवर्तनीय कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जो नहीं हो सकता।

कथन।

एक गाऊसी संख्या जिसका मान एक अभाज्य प्राकृत संख्या है, एक गाऊसी अभाज्य संख्या है।

सबूत।

फिर एक संयुक्त संख्या दें। आइए नियमों को देखें।

अर्थात्, हमने पाया कि मानदंड एक भाज्य संख्या है, और शर्त के अनुसार यह एक अभाज्य संख्या है। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और एक अभाज्य संख्या है।

कथन।

यदि एक अभाज्य प्राकृत संख्या एक साधारण गाऊसी नहीं है, तो इसे दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सबूत।

मान लीजिए कि एक अभाज्य प्राकृत संख्या है और एक साधारण गाऊसी नहीं है। फिर। चूँकि संख्याएँ समान हैं, उनके मानदण्ड भी समान हैं। यानी यहां से हमें मिलता है।

दो मामले संभव हैं:

एक)। , अर्थात्, दो वर्गों के योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

2))। , यानी इसका मतलब एक प्रतिवर्ती संख्या है, जो नहीं हो सकती है, इसलिए यह मामला हमें संतुष्ट नहीं करता है।

अध्याय 3. गॉस संख्याओं का अनुप्रयोग।

कथन।

दो वर्गों के योग के रूप में निरूपित संख्याओं का गुणनफल भी दो वर्गों के योग के रूप में निरूपित होता है।

सबूत।

आइए इस तथ्य को दो तरह से साबित करें, गाऊसी संख्याओं का उपयोग करके, और गाऊसी संख्याओं का उपयोग किए बिना।

1. मान लीजिए, प्राकृत संख्याएँ दो वर्गों के योग के रूप में निरूपित की जा सकती हैं। फिर, और। उत्पाद पर विचार करें, जो कि दो संयुग्म गाऊसी संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे प्राकृतिक संख्याओं के दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जाता है।

2. चलो। फिर

कथन।

यदि, रूप का एक सरल प्राकृतिक कहाँ है, तो और।

सबूत।

यह इस शर्त से चलता है कि इस मामले में भी एक साधारण गाऊसी है। फिर, यूक्लिड के प्रमेयिका द्वारा, कारकों में से एक विभाज्य है। मान लीजिए, लेम्मा 10 से, हमारे पास वह है और।

आइए हम दो वर्गों के योग के रूप में निरूपित प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य रूप का वर्णन करें।

फ़र्मेट का क्रिसमस प्रमेय या फ़र्मेट का प्रमेय--यूलर.

एक गैर-शून्य प्राकृतिक संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि और केवल यदि विहित अपघटन में रूप के सभी प्रमुख कारक हैं सम शक्तियों में हैं।

सबूत।

ध्यान दें कि 2 और सभी अभाज्य संख्याओं को दो वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए कि किसी संख्या के विहित अपघटन में विषम अंश में होने वाले रूप के अभाज्य गुणनखंड हैं। हम दो वर्गों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य सभी कारकों को कोष्ठक में रखते हैं, फिर रूप के कारक बने रहेंगे, और सभी पहली डिग्री में। आइए हम दिखाते हैं कि ऐसे कारकों के उत्पाद को दो वर्गों के योग के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है। वास्तव में, यदि हम यह मानते हैं, तो हमारे पास कारकों में से एक है या विभाजित होना चाहिए, लेकिन यदि इनमें से एक गाऊसी संख्या विभाजित होती है, तो इसे दूसरे को भी संयुग्म के रूप में विभाजित करना चाहिए। वह है, और, लेकिन फिर यह दूसरी डिग्री में होना चाहिए, और यह पहले में होना चाहिए। इसलिए, पहली डिग्री के रूप के किसी भी अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल को दो वर्गों के योग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि हमारी धारणा सत्य नहीं है और संख्या के विहित अपघटन में रूप के सभी अभाज्य गुणनखंड सम घातों में प्रवेश करते हैं।

कार्य 1।

आइए डायफैंटियन समीकरण को हल करने के उदाहरण पर इस सिद्धांत के अनुप्रयोग को देखें।

पूर्णांकों में हल करें।

ध्यान दें कि दाईं ओर को संयुग्म गाऊसी संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

वह है। इसे किसी साधारण गाऊसी संख्या से विभाज्य होने दें, और संयुग्म भी इससे विभाज्य है, अर्थात्। यदि हम इन गाऊसी संख्याओं के अंतर पर विचार करें, जिनसे विभाज्य होना चाहिए, तो हम पाते हैं कि इसे 4 से विभाजित करना चाहिए। लेकिन, अर्थात्, इसके साथ संबद्ध।

संख्या के अपघटन में सभी अभाज्य गुणनखंड तीन के गुणज के घात में और छह के गुणज के घात में रूप के गुणनखंडों को शामिल किया जाता है, क्योंकि एक साधारण गाऊसी संख्या अपघटन से सरल गाऊसी 2 में प्राप्त की जाती है, लेकिन, इसलिए। किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन में यह जितनी बार आता है, उतनी ही बार किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन में होता है। क्योंकि यह यदि और केवल तभी से विभाज्य है जब से यह विभाज्य है। लेकिन संबद्ध अर्थात्, उन्हें समान रूप से वितरित किया जाएगा, जिसका अर्थ है कि उन्हें इन संख्याओं के विस्तार में तीन के गुणक की शक्तियों में शामिल किया जाएगा। किसी संख्या के अपघटन में शामिल अन्य सभी अभाज्य गुणनखंड केवल या तो किसी संख्या या संख्या के अपघटन में ही प्रवेश करेंगे। इसका अर्थ यह है कि किसी संख्या के साधारण गाऊसी गुणनखंडों में विस्तार में, सभी गुणनखंड तीन के गुणज के घात में सम्मिलित होंगे। अतः संख्या एक घन है। इस प्रकार हमारे पास है। यहाँ से हमें वह प्राप्त होता है, अर्थात यह 2 का भाजक होना चाहिए। इसलिए, या। जहां से हमें चार विकल्प मिलते हैं जो हमें संतुष्ट करते हैं।

एक। , । हम कहाँ पाते हैं, .

2., . अत, ।

3.,। अत, ।

चार। , । अत, ।

कार्य 2.

पूर्णांकों में हल करें।

आइए बाईं ओर को दो गाऊसी संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, अर्थात्। आइए हम प्रत्येक संख्या को सरल गाऊसी गुणनखंडों में विघटित करें। साधारण में वे होंगे जो और के विस्तार में हैं। हम ऐसे सभी कारकों को समूहित करते हैं और परिणामी उत्पाद को निरूपित करते हैं। तब केवल वही कारक विस्तार में रहेंगे जो विस्तार में नहीं हैं। विस्तार में सभी साधारण गाऊसी कारक एक समान डिग्री में प्रवेश करते हैं। जो इसमें शामिल नहीं हैं वे या तो केवल अंदर या अंदर ही मौजूद रहेंगे। तो संख्या एक वर्ग है। वह है। वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करने पर, हमें वह मिलता है।

कार्य 3.

दो वर्गों के योग के रूप में एक प्राकृतिक संख्या के निरूपण की संख्या।

समस्या किसी दिए गए प्राकृतिक संख्या को कुछ गाऊसी संख्या के मानदंड के रूप में प्रस्तुत करने की समस्या के बराबर है। आज्ञा देना एक गाऊसी संख्या है जिसका मानदंड बराबर है। आइए हम सरल प्राकृतिक कारकों में विघटित हों।

प्रपत्र की अभाज्य संख्याएँ कहाँ हैं और प्रपत्र की अभाज्य संख्याएँ हैं। फिर, दो वर्गों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व करने योग्य होने के लिए, यह आवश्यक है कि सभी सम हों। हम संख्या को सरल गाऊसी गुणनखंडों में विघटित करते हैं, फिर

सरल गाऊसी संख्याएँ कहाँ हैं जिनमें वे विघटित होती हैं।

एक संख्या के साथ एक मानदंड की तुलना निम्नलिखित संबंधों की ओर ले जाती है, जो आवश्यक और पर्याप्त हैं:

संकेतकों के चयन के लिए विकल्पों की कुल संख्या से विचारों की संख्या की गणना की जाती है। संकेतकों के लिए, एक अवसर है, क्योंकि संख्या को दो गैर-ऋणात्मक शब्दों में निम्नलिखित तरीके से विभाजित किया जा सकता है:

कुछ संकेतकों के लिए, एक विकल्प है, और इसी तरह। सभी संभावित तरीकों से संकेतकों के लिए मान्य मानों को मिलाकर, हमें कुल प्राप्त होता है विभिन्न अर्थसाधारण गाऊसी संख्याओं के गुणनफल के लिए, फॉर्म या 2 के मानदंड के साथ। घातांक विशिष्ट रूप से चुने जाते हैं। अंत में, प्रतिवर्ती को चार अर्थ दिए जा सकते हैं: इस प्रकार, एक संख्या के लिए सभी संभावनाएं हैं, और इसलिए, एक गाऊसी संख्या के मानदंड के रूप में एक संख्या, अर्थात रूप में, तरीकों से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

इस गणना में, समीकरण के सभी समाधानों को अलग-अलग माना जाता है। हालांकि, कुछ समाधानों को दो वर्गों के योग के समान प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के रूप में देखा जा सकता है। तो, अगर -- समीकरण के समाधान, तो आप सात और समाधान निर्दिष्ट कर सकते हैं जो संख्या के समान प्रतिनिधित्व को दो वर्गों के योग के रूप में निर्धारित करते हैं: .

जाहिर है, एक प्रतिनिधित्व के अनुरूप आठ समाधानों में से केवल चार अलग-अलग समाधान ही रह सकते हैं यदि और केवल अगर या, या। इस तरह के प्रतिनिधित्व संभव हैं यदि एक पूर्ण वर्ग या एक दोगुना पूर्ण वर्ग, और इसके अलावा, ऐसा केवल एक ही प्रतिनिधित्व हो सकता है:।

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित सूत्र हैं:

यदि सभी सम नहीं हैं और

यदि सभी सम हैं।

निष्कर्ष।

इस पत्र में, हमने गाऊसी पूर्णांकों के वलय में विभाज्यता के सिद्धांत के साथ-साथ गाऊसी अभाज्य संख्याओं की प्रकृति का अध्ययन किया। ये प्रश्न पहले दो अध्यायों में शामिल हैं।

तीसरा अध्याय प्रसिद्ध शास्त्रीय समस्याओं के समाधान के लिए गॉस संख्याओं के अनुप्रयोग पर विचार करता है, जैसे:

· एक प्राकृत संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में निरूपित करने की संभावना का प्रश्न;

· दो वर्गों के योग के रूप में एक प्राकृत संख्या के निरूपण की संख्या ज्ञात करने की समस्या;

अनिश्चित पायथागॉरियन समीकरण के सामान्य समाधान ढूँढना;

और डायफैंटाइन समीकरण के समाधान के लिए भी।

मैं यह भी ध्यान देता हूं कि अतिरिक्त साहित्य के उपयोग के बिना काम किया गया था।

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उदाहरण

a + b i (\displaystyle a+bi)कहाँ पे ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)परिमेय संख्या, मैं (\displaystyle मैं)काल्पनिक इकाई है। इस तरह के भावों को जटिल संख्याओं के साथ संचालन के सामान्य नियमों के अनुसार जोड़ा और गुणा किया जा सकता है, और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में एक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि समानता से देखा जा सकता है (a + b i) (a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i) = (a + b i) (a − b i) a 2 + b 2 = 1. (\displaystyle (a+bi)\left(( \frac (a)(a^(2)+b^(2)))-(\frac (b)(a^(2)+b^(2)))i\right)=(\frac (( a+bi)(a-bi))(a^(2)+b^(2)))=1.)इससे यह पता चलता है कि परिमेय गाऊसी संख्याएँ एक ऐसा क्षेत्र बनाती हैं जो एक द्वि-आयामी स्थान है (अर्थात, एक द्विघात क्षेत्र)।

• अधिक सामान्यतः, किसी भी वर्ग-मुक्त पूर्णांक के लिए d (\displaystyle d) क्यू (डी) (\displaystyle \mathbb (क्यू) ((\sqrt (डी))))एक द्विघात क्षेत्र विस्तार होगा क्यू (\displaystyle \mathbb (क्यू)).
• वृत्ताकार क्षेत्र क्यू (ζ n) (\displaystyle \mathbb (क्यू) (\zeta _(n)))जोड़कर प्राप्त किया क्यू (\displaystyle \mathbb (क्यू))आदिम जड़ एनएकता की शक्ति। खेत में उसकी सारी शक्तियाँ भी होनी चाहिए (अर्थात सभी जड़ें .) एनएकता की शक्ति), इसका आयाम खत्म हो गया क्यू (\displaystyle \mathbb (क्यू))यूलर फ़ंक्शन के बराबर होता है (n) (\displaystyle \varphi (n)).
• वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं में परिमेय संख्याओं पर अनंत शक्ति होती है, इसलिए वे संख्या क्षेत्र नहीं हैं। यह बेशुमारता से निम्नानुसार है: कोई भी संख्यात्मक क्षेत्र गणनीय है।
• सभी बीजीय संख्याओं का क्षेत्र ए (\displaystyle \mathbb (ए))सांख्यिक नहीं है। हालांकि विस्तार A Q (\displaystyle \mathbb (A) \supset \mathbb (Q))बीजगणितीय रूप से, यह परिमित नहीं है।

पूर्णांकों का वलय संख्यात्मक क्षेत्र

चूँकि संख्या क्षेत्र क्षेत्र का बीजीय विस्तार है क्यू (\displaystyle \mathbb (क्यू)), इसका कोई भी तत्व परिमेय गुणांक वाले कुछ बहुपद का मूल है (अर्थात यह बीजीय है)। इसके अलावा, प्रत्येक तत्व पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की जड़ है, क्योंकि हर के गुणनफल द्वारा सभी तर्कसंगत गुणांकों को गुणा करना संभव है। यदि दिया गया तत्व पूर्णांक गुणांकों वाले कुछ एकात्मक बहुपद का मूल है, तो इसे एक पूर्णांक तत्व (या एक बीजगणितीय पूर्णांक) कहा जाता है। संख्या फ़ील्ड के सभी तत्व पूर्णांक नहीं होते हैं: उदाहरण के लिए, यह दिखाना आसान है कि केवल पूर्णांक तत्व क्यू (\displaystyle \mathbb (क्यू))नियमित पूर्णांक हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो बीजीय पूर्णांकों का योग और गुणनफल फिर से एक बीजीय पूर्णांक होता है, इसलिए पूर्णांक तत्व संख्या क्षेत्र का एक उपखंड बनाते हैं। के (\ डिस्प्लेस्टाइल के)बुलाया पूरी अंगूठीखेत के (\ डिस्प्लेस्टाइल के)और द्वारा दर्शाया गया है। फ़ील्ड में शून्य भाजक नहीं होते हैं और यह गुण सबरिंग में जाने पर विरासत में मिलता है, इसलिए पूर्णांकों का वलय अभिन्न होता है; निजी रिंग बॉक्स ओके (\displaystyle (\mathcal (O))_(K))मैदान ही है के (\ डिस्प्लेस्टाइल के). किसी भी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय में निम्नलिखित तीन गुण होते हैं: यह अभिन्न रूप से बंद, नोथेरियन और एक-आयामी है। रिचर्ड डेडेकिंड के बाद इन गुणों के साथ एक कम्यूटेटिव रिंग को डेडेकाइंड कहा जाता है।

primes और वर्गों के समूह में अपघटन

एक मनमानी डेडेकाइंड रिंग में, गैर-शून्य आदर्शों का सरल लोगों के उत्पाद में एक अद्वितीय अपघटन होता है। हालांकि, पूर्णांकों का प्रत्येक वलय भाज्य गुण को संतुष्ट नहीं करता है: पहले से ही पूर्णांकों के वलय के लिए, एक द्विघात क्षेत्र ओ क्यू (- 5) = जेड [ - 5 ] (\displaystyle (\mathcal (O))_(\mathbb (Q) ((\sqrt (-5))))=\mathbb (Z) [(\sqrt ( -5))])अपघटन अद्वितीय नहीं है:

6 = 2 ⋅ 3 = (1 + − 5) (1 - -5) (\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+(\sqrt (-5)))(1-(\sqrt (-5)) )))

इस वलय पर एक मानदंड का परिचय देकर, हम दिखा सकते हैं कि ये विस्तार वास्तव में भिन्न हैं, अर्थात, एक को दूसरे से गुणा करके एक व्युत्क्रम तत्व से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

भाज्य गुणधर्म के उल्लंघन की डिग्री को आदर्श वर्ग समूह का उपयोग करके मापा जाता है, पूर्णांकों के वलय के लिए यह समूह हमेशा परिमित होता है और इसके क्रम को वर्गों की संख्या कहा जाता है।

संख्या फ़ील्ड आधार

संपूर्ण आधार

संपूर्ण आधारसंख्या क्षेत्र एफडिग्री एन- यह एक सेट है

बी = {बी 1 , …, बी नहीं}

से एनपूर्णांक क्षेत्रों की अंगूठी के तत्व एफ, जैसे कि पूर्णांकों के वलय का कोई अवयव काखेत एफकेवल के रूप में लिखा जा सकता है जेड- तत्वों का रैखिक संयोजन बी; यानी किसी के लिए एक्ससे काएक अद्वितीय अपघटन है

एक्स = एम 1 बी 1 + … + एम एन बी एन,

कहाँ पे मैं मैंनियमित पूर्णांक हैं। इस मामले में, कोई भी तत्व एफके रूप में लिखा जा सकता है

एम 1 बी 1 + … + एम एन बी एन,

कहाँ पे मैं मैंपरिमेय संख्याएँ हैं। इसके बाद पूरे तत्व एफसंपत्ति द्वारा प्रतिष्ठित हैं कि ये वास्तव में वे तत्व हैं जिनके लिए सभी मैं मैंपूरे।

स्थानीयकरण और फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म जैसे उपकरणों का उपयोग करके, कोई भी किसी भी संख्या क्षेत्र के लिए इस तरह के आधार का निर्माण कर सकता है। इसका निर्माण कई कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में एक अंतर्निहित विशेषता है।

शक्ति का आधार

होने देना एफ- संख्यात्मक डिग्री क्षेत्र एन. सभी संभावित ठिकानों के बीच एफ(कैसे क्यू-वेक्टर स्पेस), पावर बेस हैं, यानी फॉर्म के बेस

बी एक्स = {1, एक्स, एक्स 2 , …, एक्स एन−1 }

कुछ के लिए एक्स ∈ एफ. आदिम तत्व प्रमेय के अनुसार, जैसे एक्सहमेशा मौजूद है, इसे कहा जाता है आदिम तत्वयह विस्तार।

मानदंड और ट्रेस

एक बीजीय संख्या क्षेत्र एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान है क्यू (\displaystyle \mathbb (क्यू))(हम इसके आयाम को के रूप में निरूपित करते हैं n (\displaystyle n)), और क्षेत्र के एक मनमाना तत्व द्वारा गुणा इस स्थान का एक रैखिक परिवर्तन है। होने देना ई 1 , ई 2 ,… ई n (\displaystyle e_(1),e_(2),\ldots e_(n))- कोई भी आधार एफ, फिर परिवर्तन x α x (\displaystyle x\mapsto \alpha x)मैट्रिक्स से मेल खाता है A = (a i j) (\displaystyle A=(a_(ij))), शर्त द्वारा निर्धारित

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q । (\displaystyle \alpha e_(i)=\sum _(j=1)^(n)a_(ij)e_(j),\quad a_(ij)\in \mathbf (Q) ।)

इस मैट्रिक्स के तत्व आधार की पसंद पर निर्भर करते हैं, हालांकि, सभी मैट्रिक्स इनवेरिएंट, जैसे कि निर्धारक और ट्रेस, इस पर निर्भर नहीं होते हैं। बीजीय विस्तार के संदर्भ में, एक तत्व गुणन मैट्रिक्स के निर्धारक को कहा जाता है नियमयह तत्व (निरूपित एन (एक्स) (\displaystyle एन(एक्स))); मैट्रिक्स ट्रेस - तत्व का पता लगाएं(निरूपित Tr (x) (\displaystyle (\text(Tr))(x))).

एक तत्व का ट्रेस एक रैखिक कार्यात्मक है एफ:

Tr (x + y) = Tr (x) + Tr (y) (\displaystyle (\text(Tr))(x+y)=(\text(Tr))(x)+(\text(Tr)) (वाई))तथा Tr (λ x) = λ Tr (x) , Q (\displaystyle (\text(Tr))(\lambda x)=\lambda (\text(Tr))(x),\lambda \in \mathbb (क्यू) ).

मानदंड एक गुणक और सजातीय कार्य है:

एन (एक्स वाई) = एन (एक्स) एन (वाई) (\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y))तथा N (λ x) = n N (x) , Q (\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^(n)N(x),\lambda \in \mathbb (Q) ).

प्रारंभिक आधार के रूप में, आप एक पूर्णांक आधार चुन सकते हैं, एक पूर्णांक बीजगणितीय संख्या से गुणा (अर्थात, पूर्णांकों के वलय के एक तत्व द्वारा) इस आधार पर पूर्णांक तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स के अनुरूप होगा। इसलिए, पूर्णांकों के वलय के किसी भी तत्व का ट्रेस और मानदंड पूर्णांक होते हैं।

मानदंड का उपयोग करने का एक उदाहरण

होने देना d (\displaystyle d) - - संपूर्ण तत्व, क्योंकि यह घटे हुए बहुपद का मूल है x 2 - d (\displaystyle x^(2)-d)) इस आधार पर से गुणा a + b d (\displaystyle a+b(\sqrt (d)))मैट्रिक्स से मेल खाता है

(a d b b a) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&db\\b&a\end(pmatrix)))

फलस्वरूप, N (a + b d) = a 2 − d b 2 (\displaystyle N(a+b(\sqrt (d)))=a^(2)-db^(2)). रिंग के तत्वों पर, यह मानदंड पूर्णांक मान लेता है। मानदंड गुणक समूह का एक समरूपता है Z [ d ] (\displaystyle \mathbb (Z) [(\sqrt (d))])प्रति गुणक समूह Z (\displaystyle \mathbb (Z)), इसलिए रिंग के उल्टे तत्वों का मान केवल बराबर हो सकता है 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1)या -1 (\displaystyle -1). पेल के समीकरण को हल करने के लिए a 2 - d b 2 = 1 (\displaystyle a^(2)-db^(2)=1), यह पूर्णांकों के वलय के सभी उल्टे तत्वों को खोजने के लिए पर्याप्त है (जिन्हें भी कहा जाता है) रिंग यूनिट) और उनमें से आदर्श के साथ चयन करें 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1). डिरिचलेट की इकाई प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए वलय के सभी व्युत्क्रम तत्व एक तत्व की शक्तियाँ हैं (गुणा करने तक) -1 (\displaystyle -1)), इसलिए, पेल समीकरण के सभी समाधान खोजने के लिए, यह एक मौलिक समाधान खोजने के लिए पर्याप्त है।

यह सभी देखें

साहित्य

• एच. कोच।बीजगणितीय संख्या सिद्धांत। - एम .: विनीति, 1990. - टी। 62. - 301 पी। - (विज्ञान और प्रौद्योगिकी के परिणाम। श्रृंखला "गणित की आधुनिक समस्याएं। मौलिक निर्देश"।)।
• चेबोतारेव एन.जी.गैलोइस सिद्धांत के मूल सिद्धांत। भाग 2. - एम.: संपादकीय यूआरएसएस, 2004।
• वेइल जी.बीजगणितीय संख्या सिद्धांत। प्रति. अंग्रेजी से। - एम।: संपादकीय यूआरएसएस, 2011।
• सर्ज लैंग, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, दूसरा संस्करण, स्प्रिंगर, 2000

प्रोग्रामिंग कोर्स से यह ज्ञात होता है कि एक पूर्णांक को कंप्यूटर मेमोरी में अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जा सकता है, विशेष रूप से, यह प्रतिनिधित्व इस बात पर निर्भर करता है कि इसे कैसे वर्णित किया जाता है: पूर्णांक, या वास्तविक, या स्ट्रिंग के मान के रूप में। साथ ही, अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में, पूर्णांकों को बहुत सीमित सीमा से संख्याओं के रूप में समझा जाता है: एक विशिष्ट मामला -2 15 = -32768 से 2 15 - 1 = 32767 तक होता है। प्रणाली कंप्यूटर बीजगणितबड़े पूर्णांकों से निपटें, विशेष रूप से, ऐसी कोई भी प्रणाली दशमलव संकेतन में 1000 जैसी संख्याओं की गणना और प्रदर्शन कर सकती है! (एक हजार से अधिक वर्ण)।

इस पाठ्यक्रम में, हम सांकेतिक रूप में पूर्णांकों के प्रतिनिधित्व पर विचार करेंगे और इस बारे में विवरण नहीं देंगे कि एक वर्ण (बिट, बाइट, या अन्य) लिखने के लिए कितनी मेमोरी आवंटित की गई है। सबसे आम पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व है स्थितीय संख्या प्रणाली. ऐसी प्रणाली संख्या के आधार की पसंद से निर्धारित होती है, उदाहरण के लिए, 10। दशमलव पूर्णांकों के समुच्चय को आमतौर पर निम्नानुसार वर्णित किया जाता है:

पूर्णांकों की लिखित परिभाषा प्रत्येक ऐसी संख्या के प्रतिनिधित्व की विशिष्टता देती है, और एक समान परिभाषा (केवल, शायद एक अलग आधार के साथ) अधिकांश प्रणालियों में उपयोग की जाती है। कंप्यूटर बीजगणित. इस निरूपण का उपयोग करते हुए, पूर्णांकों पर अंकगणितीय संक्रियाओं को कार्यान्वित करना सुविधाजनक होता है। साथ ही, जोड़ और घटाव अपेक्षाकृत "सस्ते" ऑपरेशन हैं, जबकि गुणा और भाग "महंगे" हैं। अंकगणितीय संक्रियाओं की जटिलता का आकलन करते समय, किसी को बहु-अंकीय संख्याओं पर किसी भी संक्रिया को करने के लिए प्राथमिक संक्रिया (एक-बिट) की लागत और एक-बिट संक्रियाओं की संख्या दोनों को ध्यान में रखना चाहिए। गुणन और विभाजन की जटिलता, सबसे पहले, इस तथ्य के कारण है कि किसी संख्या की लंबाई में वृद्धि (किसी भी संख्या प्रणाली में इसका अंकन) के साथ, प्रारंभिक संचालन की संख्या द्विघात कानून के अनुसार बढ़ जाती है, इसके विपरीत जोड़ और घटाव के लिए रैखिक एक। इसके अलावा, जिसे हम आमतौर पर बहु-अंकीय विभाजन एल्गोरिथ्म कहते हैं, वह वास्तव में भागफल के संभावित अगले अंक की गणना (अक्सर बहुत महत्वपूर्ण) पर आधारित होता है, और यह केवल एकल-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के लिए नियमों का उपयोग करने के लिए पर्याप्त नहीं है। संख्या प्रणाली के एक बड़े आधार के साथ (अक्सर यह 2 30 के क्रम का हो सकता है), यह विधि अप्रभावी है।

आज्ञा देना एक प्राकृतिक संख्या है (दशमलव प्रणाली में लिखा गया है)। उसका रिकॉर्ड पाने के लिए in -ary संख्या प्रणाली, आप निम्न एल्गोरिथम का उपयोग कर सकते हैं (संख्या के पूर्णांक भाग को दर्शाता है):

दिया गया है: दशमलव अंकन में ए-प्राकृतिक संख्या k> 1-प्राकृतिक संख्या की आवश्यकता है: के-दशमलव संकेतन में संख्या ए का ए-रिकॉर्ड प्रारंभ i: = 0 चक्र जबकि ए> 0 द्वि: = ए (मॉड के) ए: = i := i + चक्र का 1 सिरा dA:= i - 1 अंत

निम्न एल्गोरिथम का उपयोग दशमलव संख्या को उसके k-ary संकेतन के अनुक्रम से पुनर्स्थापित करने के लिए किया जाता है:

दिया गया है: k> k-ary प्रणाली में संख्या A का प्रतिनिधित्व करने वाले अंकों की 1-प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की आवश्यकता है: दशमलव अंकन में संख्या A का A-रिकॉर्ड प्रारंभ A: = 0 अनुक्रम के अंत तक चक्र b: = अगला तत्व अनुक्रम ए: = ए * के + बी एंड लूप एंड

1.2. एक व्यायाम। व्याख्या करें कि दशमलव प्रणाली से किसी संख्या को k-नंबर में बदलने के लिए विभाजन का उपयोग क्यों किया जाता है, और गुणा का उपयोग k-संख्या से दशमलव में बदलने के लिए किया जाता है।

दशमलव संख्या प्रणाली में "स्तंभ" दो दो अंकों की संख्याओं से गुणा करके, हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

यानी एक अंक की संख्याओं के गुणन की 4 संक्रियाएँ, जोड़ की 3 संक्रियाएँ और संख्या आधार के घात से गुणा की 2 संक्रियाएँ, जो एक पाली में घट जाती हैं। जटिलता का आकलन करते समय, कोई भी वजन से अलग किए बिना सभी प्राथमिक कार्यों को ध्यान में रख सकता है (इस उदाहरण में, हमारे पास 9 प्राथमिक संचालन हैं)। प्राथमिक संचालन की कुल संख्या को कम करने के लिए इस दृष्टिकोण में एल्गोरिदम को अनुकूलित करने का कार्य कम हो गया है। हालांकि, कोई यह मान सकता है कि गुणन जोड़ की तुलना में अधिक "महंगा" ऑपरेशन है, जो बदले में, एक बदलाव की तुलना में "अधिक महंगा" है। केवल सबसे महंगे ऑपरेशन को ध्यान में रखते हुए, हमें वह मिलता है गुणकदो अंकों की संख्याओं को "कॉलम" से गुणा करने की जटिलता 4 है।

धारा 5 सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना के लिए एल्गोरिदम पर विचार करती है और उनकी जटिलता का मूल्यांकन करती है।

माना गया प्रतिनिधित्व पूर्णांकों का एकमात्र विहित प्रतिनिधित्व नहीं है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक विहित प्रतिनिधित्व चुनने के लिए, एक प्राकृतिक संख्या के गुणनखंड की विशिष्टता को प्रमुख कारकों में उपयोग कर सकता है। एक पूर्णांक के इस तरह के प्रतिनिधित्व का उपयोग उन समस्याओं में किया जा सकता है जहां केवल गुणन और विभाजन संचालन का उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे बहुत "सस्ते" हो जाते हैं, हालांकि, जोड़ और घटाव संचालन की लागत अनुपातहीन रूप से बढ़ जाती है, जो इस तरह के प्रतिनिधित्व के उपयोग को रोकता है। कुछ समस्याओं में, विहित प्रतिनिधित्व की अस्वीकृति एक महत्वपूर्ण प्रदर्शन लाभ देती है, विशेष रूप से, किसी संख्या के आंशिक गुणन का उपयोग किया जा सकता है। संख्याओं के साथ नहीं, बल्कि बहुपद के साथ काम करते समय एक समान विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है।

यदि यह ज्ञात है कि कार्यक्रम के संचालन के दौरान गणना में सामने आने वाले सभी पूर्णांक किसी दिए गए स्थिरांक द्वारा निरपेक्ष मान में सीमित हैं, तो आप ऐसी संख्याओं को उनके अवशेषों की प्रणाली को कुछ सहअभाज्य संख्याओं के मापांक में सेट करने के लिए उपयोग कर सकते हैं, का उत्पाद जो उल्लिखित स्थिरांक से अधिक है। अवशेष वर्गों के साथ गणना आम तौर पर कई सटीक अंकगणित से तेज होती है। और इस दृष्टिकोण के साथ, कई सटीक अंकगणित का उपयोग केवल जानकारी दर्ज करते या आउटपुट करते समय किया जाना चाहिए।

ध्यान दें कि, सिस्टम में विहित अभ्यावेदन के साथ कंप्यूटर बीजगणितअन्य अभ्यावेदन का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, यह वांछनीय है कि एक पूर्णांक के सामने "+" चिह्न की उपस्थिति या अनुपस्थिति कंप्यूटर की धारणा को प्रभावित नहीं करती है। इस प्रकार, सकारात्मक संख्याओं के लिए, एक अस्पष्ट प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है, हालांकि ऋणात्मक संख्याओं का रूप विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

एक और आवश्यकता यह है कि पहले महत्वपूर्ण अंक से पहले शून्य की उपस्थिति से किसी संख्या की धारणा प्रभावित नहीं होनी चाहिए।

1.3. व्यायाम।

1. किसी स्तंभ द्वारा किसी m-अंकीय संख्या को n-अंकीय संख्या से गुणा करते समय प्रयुक्त एक-अंकीय गुणन की संख्या का अनुमान लगाएँ।
2. दिखाएँ कि दो दो-अंकीय संख्याओं को केवल 3 एकल-अंकीय गुणाओं का उपयोग करके और योगों की संख्या को बढ़ाकर गुणा किया जा सकता है।
3. लंबी संख्याओं को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म खोजें जिसमें भागफल के पहले अंक को खोजने के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता नहीं होती है।
4. प्राकृतिक संख्याओं को m-ary संख्या प्रणाली से n-ary एक में बदलने के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें।
5. पर रोमन अंकसंख्याएँ लिखने के लिए निम्नलिखित प्रतीकों का उपयोग किया जाता है: I - एक, V - पाँच, X - दस, L - पचास, C - एक सौ, D - पाँच सौ, M - एक हजार। एक प्रतीक को नकारात्मक माना जाता है यदि उसके दाईं ओर एक बड़ी संख्या का प्रतीक है, और अन्यथा सकारात्मक है। उदाहरण के लिए, इस प्रणाली में 1948 की संख्या इस प्रकार लिखी जाएगी: MCMXLVIII। किसी संख्या को रोमन से दशमलव और इसके विपरीत में बदलने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें। परिणामी एल्गोरिथ्म को एल्गोरिथम भाषाओं में से एक में लागू करें (उदाहरण के लिए, C )। प्रारंभिक डेटा पर प्रतिबंध: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. रोमन अंक में प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें और एक प्रोग्राम लिखें।
7. हम कहेंगे कि हम एक संख्या प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं मिश्रित या वेक्टर आधारित, यदि हमें n प्राकृत संख्याओं का एक सदिश दिया जाता है M = (m 1 , . . . , m n) (आधार) और संकेतन K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) संख्या को दर्शाता है के = के 0 + एम 1 (के 1 + एम 2 (के 2 + · · + एम एन · के एन) ...)). एक प्रोग्राम लिखें, जो डेटा (सप्ताह का दिन, घंटे, मिनट, सेकंड) को देखते हुए निर्धारित करता है कि सप्ताह की शुरुआत के बाद से कितने सेकंड बीत चुके हैं (सोमवार, 0, 0, 0) = 0, और उलटा परिवर्तन करता है।

हमने देखा है कि बहुपदों पर संक्रियाओं को उनके गुणांकों पर संक्रियाओं तक सीमित कर दिया जाता है। उसी समय, बहुपदों के जोड़, घटाव और गुणा के लिए, तीन अंकगणितीय ऑपरेशन पर्याप्त हैं - संख्याओं के विभाजन की आवश्यकता नहीं थी। चूंकि दो वास्तविक संख्याओं का योग, अंतर और गुणन फिर से वास्तविक संख्याएं हैं, वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों को जोड़ने, घटाने और गुणा करने से वास्तविक गुणांक वाले बहुपद बनते हैं।

हालांकि, किसी को हमेशा उन बहुपदों से निपटना नहीं पड़ता है जिनमें कोई वास्तविक गुणांक होता है। ऐसे मामले हैं, जब मामले के सार से, गुणांक में केवल पूर्णांक या केवल तर्कसंगत मान होना चाहिए। गुणांक के किन मूल्यों को स्वीकार्य माना जाता है, इसके आधार पर बहुपदों के गुण बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों पर विचार करते हैं, तो हम गुणनखंड कर सकते हैं:

यदि हम अपने आप को पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों तक सीमित रखते हैं, तो विस्तार (1) का कोई मतलब नहीं है और हमें बहुपद को कारकों में अविघटनीय मानना ​​चाहिए।

इससे पता चलता है कि बहुपद का सिद्धांत अनिवार्य रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि कौन से गुणांक स्वीकार्य माने जाते हैं। गुणांक के किसी भी सेट से दूर स्वीकार्य के रूप में लिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उन सभी बहुपदों पर विचार करें जिनके गुणांक विषम पूर्णांक हैं। यह स्पष्ट है कि ऐसे दो बहुपदों का योग अब एक ही प्रकार का बहुपद नहीं होगा: आखिरकार, विषम संख्याओं का योग एक सम संख्या होती है।

आइए हम प्रश्न करें: गुणांक के "अच्छे" सेट क्या हैं? किसी दिए गए प्रकार के गुणांक वाले बहुपदों के योग, अंतर, गुणनफल में एक ही प्रकार के गुणांक कब होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम एक संख्या वलय की धारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा। संख्याओं के एक गैर-रिक्त सेट को एक संख्या वलय कहा जाता है, यदि किन्हीं दो संख्याओं a और के साथ, इसमें उनका योग, अंतर और गुणनफल शामिल हो। इसे अधिक संक्षेप में यह कहकर भी व्यक्त किया जाता है कि संख्या वलय जोड़, घटाव और गुणा के संचालन के तहत बंद है।

1) पूर्णांकों का समुच्चय एक संख्यात्मक वलय है: पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल पूर्णांक होते हैं। प्राकृत संख्याओं का समुच्चय संख्यात्मक वलय नहीं है, क्योंकि प्राकृत संख्याओं का अंतर ऋणात्मक हो सकता है।

2) सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक संख्यात्मक वलय है, क्योंकि परिमेय संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल परिमेय होता है।

3) एक संख्या वलय और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाता है।

4) फॉर्म की संख्या जहां ए और पूर्णांक एक संख्यात्मक अंगूठी बनाते हैं। यह संबंधों से निम्नानुसार है:

5) विषम संख्याओं का समुच्चय एक संख्या वलय नहीं है, क्योंकि विषम संख्याओं का योग सम होता है। सम संख्याओं का समुच्चय एक संख्यात्मक वलय है।

डीईएफ़।एक वलय K को पूर्णांकों का वलय कहा जाता है यदि वलय K का योगात्मक समूह पूर्णांकों का योगात्मक समूह है और वलय K में गुणन क्रमविनिमेय है और प्राकृतिक संख्याओं का गुणन जारी रखता है (N प्राकृतिक संख्याओं की प्रणाली में)।

टी1.होने देना पूर्णांकों का योगात्मक समूह है, इसमें एक प्राकृतिक गुणन होता है, और 1 N प्राकृतिक संख्याओं के निकाय की इकाई है। तब बीजगणित Z= पूर्णांकों का वलय है।

डॉक्टर।आइए हम दिखाते हैं कि बीजगणित Z एक क्रमविनिमेय वलय है। परंपरा के अनुसार, बीजगणित - रिंग का योगात्मक समूह पूर्णांकों के योगात्मक समूह के रूप में एक एबेलियन समूह है।

मान लीजिए a, b, c समुच्चय Z के स्वेच्छ अवयव हैं। इन्हें प्राकृत संख्याओं के आनन्द के रूप में निरूपित किया जा सकता है। मान लीजिए (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N)।

Z में प्राकृतिक गुणन सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np)।

प्राकृतिक गुणन क्रमविनिमेय है, क्योंकि b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm), और प्राकृत संख्याओं का योग और गुणन क्रमविनिमेय है।

प्राकृतिक गुणन साहचर्य है। दरअसल, (1) और (2) के आधार पर हमारे पास है:

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr) +एनपीआर+एनक्यूएस);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs) + एमक्यूआर + एनपीआर)।

इसलिए, प्राकृत संख्याओं के योग की क्रमपरिवर्तनशीलता के कारण, a*(b*c)= (a*b)*c.

प्राकृतिक गुणन के संबंध में तत्व 1 तटस्थ है। दरअसल, 2 से किसी के लिए हमारे पास a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a है।

इसलिए बीजगणित एक कम्यूटेटिव मोनॉयड है।

डीईएफ़।यदि पूर्णांकों a और b के लिए ऐसी प्राकृत संख्या k है कि a+k=b और k 0, तो हम कहते हैं कि "a, या b से छोटा है" और a लिखें बी अगर और केवल अगर बी

टी2.चलो Z= पूर्णांक की अंगूठी। तब: 1) किसी भी पूर्णांक a और b के लिए, तीन में से एक और केवल एक शर्त पूरी होती है: a

2) किसी भी पूर्णांक a के लिए, तीन में से एक और केवल एक शर्त पूरी होती है: a<0, a=0, 0

3) रवैया< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

एक

4) रवैया<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

यदि एक 0, फिर एसी

शेष के साथ विभाजन पर टी।मान लीजिए a एक पूर्णांक है और b शून्य के अलावा एक प्राकृत संख्या है। किसी संख्या a और b को शेषफल से विभाजित करने का अर्थ है इसे a=bq+r के रूप में निरूपित करना, जहां 0 r

शेष के साथ विभाजन हमेशा संभव होता है, और आंशिक भागफल और शेष विशिष्ट रूप से लाभांश और भाजक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

टी।किसी भी पूर्णांक a, b के साथ b>0 के लिए, पूर्णांक q और r की एक अद्वितीय जोड़ी है जो शर्तों को पूरा करती है: (1) a=bq+r और 0 r

डॉक्टर।आइए हम सिद्ध करें कि संख्या q, r संतोषजनक शर्तों (1) का कम से कम एक युग्म मौजूद है। आइए पहले उस स्थिति पर विचार करें जब a एक प्राकृत संख्या है। हम b को नियत करते हैं और a पर प्रेरण द्वारा सिद्ध करते हैं कि (2) पूर्णांक q, r संतोषजनक (1) का एक युग्म मौजूद है।

a=0 के लिए, कथन (2) सत्य है, क्योंकि 0=b*0+0. मान लें कि (2) a=n के लिए सत्य है, अर्थात्। वहाँ पूर्णांक q, r मौजूद हैं जैसे कि (3) n=bq+r और 0 r

महत्तम सामान्य भाजक।एक पूर्णांक c को पूर्णांकों a 1 , …, a n का उभयनिष्ठ भाजक कहा जाता है, यदि इनमें से प्रत्येक संख्या का भाजक हो।

डीईएफ़। पूर्णांकों a 1 , …, a n का सबसे बड़ा समापवर्तक उनका उभयनिष्ठ भाजक है, जो इन संख्याओं के किसी भी उभयनिष्ठ भाजक से विभाज्य होता है।

पूर्णांक a 1 , …, a n कोप्राइम कहा जाता है यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर हो।

संख्याओं का GCD 1 , …, a n को GCD(a 1 ,…, a n) द्वारा दर्शाया जाता है, इन संख्याओं के धनात्मक GCD को gcd(a 1 ,…, a n) द्वारा दर्शाया जाता है।

उपफल 1. यदि d पूर्णांकों a 1 , ..., a n का एक gcd है, तो इन संख्याओं के सभी उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय d के सभी भाजक के समुच्चय से मेल खाता है।

उपफल 2. पूर्णांकों a 1 , …, a n के कोई भी दो gcd संबद्ध हैं, अर्थात्। केवल संकेत में भिन्न हो सकते हैं। यदि d संख्याओं a 1 , …, a n का GCD है, तो संख्या (-d) भी इन संख्याओं की GCD है।

यूक्लिड का एल्गोरिथ्म।दो पूर्णांकों का gcd ज्ञात करने का एक तरीका।

वाक्य। मान लीजिए a और b दो पूर्णांक हैं, b≠0 और (1) a=bq+r (0 r<|b|).

फिर नोड (ए, बी) = नोड (बी, आर)।

डॉक्टर। (1) से यह इस प्रकार है कि संख्या a और b का कोई भी सामान्य भाजक संख्या r=a-bq का भाजक है, और संख्या b और r का कोई भी सामान्य भाजक संख्या a का भाजक है। इसलिए, संख्याओं a और b के सभी उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय, b और r के सभी उभयनिष्ठ भाजक के समुच्चय से मेल खाता है। यह इस प्रकार है कि संख्याओं a और b का धनात्मक उभयनिष्ठ भाजक संख्याओं b और r के धनात्मक उभयनिष्ठ भाजक के समान है, अर्थात। नोड (ए, बी) = नोड (बी, आर)।

अगर b|a, कहा पे b≥1, तो, जाहिर है, gc(a,b)=b. दो पूर्णांकों के नोड्स को खोजने के लिए, "क्रमिक विभाजन" की एक विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे यूक्लिड एल्गोरिथम कहा जाता है। इस पद्धति का सार यह है कि, ऊपर सिद्ध किए गए प्रस्ताव के आधार पर, संख्या a और b के नोड्स खोजने की समस्या को संख्या b और r के नोड्स खोजने की एक सरल समस्या में घटा दिया गया है, जहां 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

यदि a=0, तो b=0*c=0 और प्रमेय सत्य है। अगर a≠0, तो cd=1 (1) से अनुसरण करता है। प्रमेय के अनुसार, यह समानता cd=1 का अनुसरण करता है कि d= 1. इसके अलावा, a=bd; इसलिए ए = बी। सिद्ध किया हुआ।

आम एकाधिक।एक पूर्णांक को पूर्णांकों a 1 , …, a n का एक उभयनिष्ठ गुणज कहा जाता है यदि यह इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हो।

डीईएफ़। पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य a 1 , …, a n उनका उभयनिष्ठ गुणज है जो इन संख्याओं के किसी भी उभयनिष्ठ गुणज को विभाजित करता है। सामान्य: एलसीएम (ए 1, ..., ए एन)। संख्याओं का धनात्मक न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज a 1 , …, a n , शून्य से भिन्न, ob-Xia से होकर।

क्रम-अर्थात्। पूर्णांकों a 1 , …, a n के कोई भी दो लघुत्तम समापवर्तक Z में संबद्ध हैं, अर्थात्। केवल संकेत में भिन्न हो सकते हैं। यदि संख्या m LCM(a 1 ,…, a n) है, तो संख्या (-m) LCM(a 1 ,…, a n) है।

क्रम-अर्थात्। यदि m, a 1 ,…, a n का सबसे छोटा सार्व गुणज है, तो इन संख्याओं के सभी सामान्य गुणकों का समुच्चय m के सभी गुणजों के समुच्चय से मेल खाता है।

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