अंतिम उदाहरण वर्णमाला क्रम की अवधारणा का परिचय देता है।

वर्णमालाजोड़ीवार अलग-अलग वर्णों का एक समूह है जिसे वर्णमाला के अक्षर कहा जाता है। एक उदाहरण किसी भी यूरोपीय भाषा की वर्णमाला के साथ-साथ 10 अरबी अंकों की वर्णमाला है। कंप्यूटर में, कीबोर्ड और कुछ सहायक उपकरण मान्य वर्णों की वर्णमाला निर्धारित करते हैं।

वर्णमाला में शब्दए -वर्णमाला वर्णों का समूह एक।शब्द एक पंक्ति में वर्णमाला वर्णों के साथ, बाएं से दाएं, बिना रिक्त स्थान के लिखा जाता है। एक प्राकृतिक संख्या डिजिटल वर्णमाला में एक शब्द है। वर्णों की गैर-रैखिक व्यवस्था के कारण एक सूत्र हमेशा एक शब्द नहीं होता है, सुपरस्क्रिप्ट (घातांक) की उपस्थिति होती है ) और सबस्क्रिप्ट (चरों के सूचकांक, लघुगणक के आधार) प्रतीक, भिन्नात्मक बार, संकेत रेडिकल, आदि; हालाँकि, कुछ परंपराओं के अनुसार, इसे एक स्ट्रिंग में लिखा जा सकता है, जिसका उपयोग, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में किया जाता है (उदाहरण के लिए, घातांक चिह्न को एक पंक्ति में 2 गुणन चिह्नों के रूप में लिखा जाता है: 5**3 का अर्थ है की तीसरी शक्ति संख्या 5.

लेक्सिको-ग्राफिक (वर्णमाला) क्रम -वर्णमाला के विभिन्न शब्दों के लिए क्रमबद्ध

वर्ण सेट क्रम: यदि

संभव प्रस्तुति , जिस पर या तो

(उपशब्द खाली हो सकता है), या - खाली उपशब्द

इस परिभाषा में - एक उपसर्ग (प्रारंभिक उपशब्द) जो दोनों शब्दों के लिए समान है - या बाईं ओर एक पंक्ति में पहला अलग है

अक्षर, या - शब्द का अंतिम अक्षर - पूँछ

उपशब्द.

इस प्रकार, शब्दों का वर्णमाला क्रम पहले वर्ण द्वारा निर्धारित किया जाता है जो उन्हें बाईं ओर से अलग करता है (उदाहरण के लिए, KONUS शब्द COSINUS शब्द से पहले आता है, क्योंकि वे पहले तीसरे अक्षर में भिन्न होते हैं, और रूसी वर्णमाला में H, C से पहले होता है)। यह भी माना जाता है कि अंतरिक्ष वर्ण वर्णमाला के किसी भी वर्ण से पहले आता है - उस स्थिति के लिए जब एक शब्द दूसरे का उपसर्ग होता है (उदाहरण के लिए, KOH और CONE)

व्यायाम।जांचें कि दशमलव अंकन में अंकों की समान संख्या वाली प्राकृतिक संख्याओं का वर्णमाला क्रम परिमाण के आधार पर उनके क्रम के समान है।

होने देना ए -आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट। तत्व कहा जाता है अधिकतमवी ए,यदि जिसके लिए कोई तत्व नहीं है ए< b. तत्व एबुलाया महानतमवी ए,यदि इसके अलावा किसी अन्य के लिए एआइटम पूरा हुआ बी<а-

सममित रूप से परिभाषित हैं न्यूनतम और न्यूनतमतत्व. सबसे बड़े और अधिकतम (क्रमशः, सबसे छोटे और न्यूनतम) तत्वों की अवधारणाएँ अलग-अलग हैं - देखें। चित्र 14 में उदाहरण. चित्र में सेट. 14a में सबसे बड़ा तत्व है आर,यह भी अधिकतम है, दो न्यूनतम तत्व हैं: एस और टीकोई सबसे छोटा नहीं है. चित्र 14बी में, इसके विपरीत, सेट में दो अधिकतम तत्व / और हैं जे ,कोई महानतम, न्यूनतम नहीं है, यह सबसे छोटा है - एक: टी।

सामान्य तौर पर, यदि किसी सेट में सबसे बड़ा (क्रमशः, सबसे छोटा) तत्व है, तो केवल एक (कोई भी नहीं हो सकता है)।

कई अधिकतम और न्यूनतम तत्व हो सकते हैं (बिल्कुल नहीं भी हो सकते हैं - एक अनंत सेट में; अंतिम स्थिति में, होना ही चाहिए)।

आइए दो और उदाहरण देखें। - सेट पर रिश्ता एन:

"यविभाजित एक्स",या "एक्ससंख्या का भाजक है वाई"(उदाहरण के लिए,

) प्रतिवर्ती एवं सकर्मक है। इसे संख्या 30 के विभाजकों के एक सीमित सेट पर विचार करें।

यह संबंध आंशिक क्रम (गैर-सख्त) का संबंध है

और क्रम 8 के निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है, जिसमें 31 वर्ण हैं

8 शीर्षों वाली संगत योजना में 31 बंडल होने चाहिए। . हालाँकि, यदि हम 8 को हटा दें तो यह देखने के लिए अधिक सुविधाजनक होगा

लिंक-लूप संबंध (मैट्रिक्स के विकर्ण तत्व) और संक्रमणीय लिंक की संवेदनशीलता को दर्शाते हैं, यानी। बंडल

यदि कोई मध्यवर्ती संख्या Z ऐसी है

(उदाहरण के लिए, एक गुच्छा क्योंकि ). फिर योजना में

12 स्नायुबंधन होंगे (चित्र 15); लुप्त कड़ियाँ "परिवर्तनशीलता द्वारा" निहित हैं। अंक 1 सबसे छोटा है और अंक 30 है

में सबसे बड़े तत्व। यदि हम संख्या 30 और को बाहर कर दें

फिर, सेट पर उसी आंशिक क्रम पर विचार करें

कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है, लेकिन 3 अधिकतम तत्व हैं: 6, 10, 15

आइए अब बूलियन संबंध के लिए भी वही योजना बनाएं

(सभी उपसमुच्चय का समुच्चय) तीन-तत्व समुच्चय का

इसमें 8 तत्व शामिल हैं:

जांचें कि क्या आप तत्वों से मेल खाते हैं ए, बी, सी,संख्याएँ क्रमशः 2, 3, 5, और समुच्चयों के मिलन की संक्रियाएँ संगत संख्याओं का गुणन हैं (अर्थात, उदाहरण के लिए, एक उपसमुच्चय इससे मेल खाता है)

गुणनफल 2 5 = 10), तो संबंध मैट्रिक्स बिल्कुल होगा

संबंध के समान; वर्णित के साथ इन दोनों संबंधों की योजनाएं

लूप और सकर्मक संयोजकों के संक्षिप्त रूप अंकन तक मेल खाते हैं (चित्र 16 देखें)। सबसे छोटा तत्व है

और सबसे बड़ा -

द्विआधारी संबंध आरमंच पर एऔर एसमंच पर मेंबुलाया समरूपीयदि बीच में ए और बीएक-से-एक पत्राचार स्थापित करना संभव है Г, जिसमें, यदि (अर्थात)

तत्व संबंधित हैं आर),फिर (छवियाँ

ये तत्व संबंधित हैं एस)।

इस प्रकार, आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट और आइसोमोर्फिक हैं।

माना गया उदाहरण एक सामान्यीकरण को स्वीकार करता है।

बूलियन संबंध एक आंशिक क्रम है। अगर

वे। गुच्छा इरोकना पीतत्व, फिर प्रत्येक

उपसमुच्चय मेल खाता है पी-आयामी वेक्टर के साथ

घटक, विशेषता कार्य कहां है

सेट ए/ . ऐसे सभी सदिशों के समुच्चय को बिंदुओं का समुच्चय माना जा सकता है पी-निर्देशांक 0 या 1 के साथ आयामी अंकगणितीय स्थान, या, दूसरे शब्दों में, शीर्ष के रूप में पीआयामी

इकाई घन, द्वारा निरूपित, अर्थात्। इकाई लंबाई के किनारों वाला घन। के लिए एन = 1, 2, 3 संकेतित बिंदु क्रमशः खंड के सिरों, वर्ग के शीर्षों और घन का प्रतिनिधित्व करते हैं - इसलिए सामान्य नाम। /7=4 के लिए, इस रिश्ते का एक ग्राफिक प्रतिनिधित्व चित्र 17 में है। 4-आयामी घन के प्रत्येक शीर्ष के पास, संगत

4-तत्व सेट और चार-आयामी का उपसमुच्चय

इस उपसमुच्चय के विशिष्ट कार्य का प्रतिनिधित्व करने वाला एक वेक्टर। शीर्ष एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं, उपसमुच्चय के अनुरूप हैं जो बिल्कुल एक तत्व की उपस्थिति में भिन्न होते हैं।

चित्र 17 में, एक चार आयामी घन को इस प्रकार दर्शाया गया है कि एक पर

स्तर पर जोड़ीवार अतुलनीय तत्व होते हैं जिनमें रिकॉर्ड में इकाइयों की समान संख्या होती है (0 से 4 तक), या, दूसरे शब्दों में, प्रस्तुत उपसमुच्चय में तत्वों की समान संख्या होती है।

चित्र 18ए,बी में - 4-आयामी घन के अन्य दृश्य प्रतिनिधित्व;

चित्र 18ए में पहले चर की धुरी ओहऊपर की ओर निर्देशित (ऊर्ध्वाधर से जानबूझकर विचलन ताकि घन के विभिन्न किनारे विलीन न हों):

जबकि 3-आयामी उपघन के अनुरूप एक्स= 0 नीचे स्थित है, और के लिए एक्स= 1 - उच्चतर. अंजीर पर. 186 समान धुरी ओहघन के अंदर से बाहर की ओर निर्देशित, आंतरिक उपघन से मेल खाता है एक्स= ओह, और बाहरी - एक्स= 1.

में
सामग्री फ़ाइल 5-आयामी इकाई घन (पृष्ठ 134) की एक छवि दिखाती है।

माना R एक समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध है।

परिभाषा। समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध R को A पर ऑर्डर संबंध या A पर ऑर्डर संबंध कहा जाता है यदि यह संक्रमणीय और एंटीसिमेट्रिक है।

परिभाषा। सेट ए पर ऑर्डर रिलेशन आर को गैर-सख्त कहा जाता है यदि यह ए पर रिफ्लेक्सिव है, यानी, ए में से किसी के लिए।

एक आदेश संबंध आर को सख्त (ए पर) कहा जाता है यदि यह ए पर एंटीरिफ्लेक्सिव है, यानी, ए में से किसी के लिए। हालांकि, एक संक्रमणीय संबंध आर की एंटीसिममेट्री इस तथ्य से होती है कि यह एंटीरिफ्लेक्सिव है। इसलिए, हम निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा। समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध R को A पर एक सख्त आदेश कहा जाता है यदि यह A पर सकर्मक और प्रतिवर्ती है।

उदाहरण। 1. मान लीजिए कि समुच्चय M के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। समुच्चय पर समावेशन संबंध एक गैर-सख्त क्रम संबंध है।

2. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध क्रमशः सख्त और गैर-सख्त क्रम के संबंध हैं।

3. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में विभाज्यता संबंध गैर-सख्त क्रम का संबंध है।

परिभाषा। सेट ए पर एक बाइनरी रिलेशन आर को प्रीऑर्डर रिलेशन या ए पर प्रीऑर्डर कहा जाता है यदि यह रिफ्लेक्सिव ऑन और ट्रांजिटिव है।

उदाहरण। 1. पूर्णांकों के समुच्चय में विभाज्यता का अनुपात कोई क्रम नहीं है। हालाँकि, यह प्रतिवर्ती और सकर्मक है, जिसका अर्थ है कि यह एक पूर्व-आदेश है।

2. तार्किक परिणाम संबंध प्रस्तावात्मक तर्क सूत्रों के सेट पर एक पूर्व-आदेश है।

रेखीय क्रम. किसी आदेश का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला एक रैखिक क्रम है।

परिभाषा। किसी समुच्चय पर क्रम संबंध को रेखीय क्रम संबंध या रेखीय क्रम संबंध कहा जाता है यदि वह , अर्थात A से किसी x, y के लिए जुड़ा हो।

एक ऑर्डर संबंध जो रैखिक नहीं है, उसे आमतौर पर आंशिक ऑर्डर संबंध या आंशिक ऑर्डर के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण। 1. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर "इससे कम" का संबंध रैखिक क्रम का संबंध है।

2. रूसी भाषा के शब्दकोशों में स्वीकृत क्रम संबंध को लेक्सिकोग्राफ़िक कहा जाता है। रूसी भाषा में शब्दों के सेट पर शब्दकोषीय क्रम एक रैखिक क्रम है।

व्याख्यान योजना #14 द्विआधारी संबंधों का वर्गीकरण

1. एंटीसिमेट्रिक संबंधों का वर्गीकरण
2. प्रतिवर्ती संबंधों का वर्गीकरण
2.1. अर्ध-क्रम संबंध
2.2. गैर-सख्त आंशिक आदेश के संबंध
2.3. गैर-सख्त आदेश देने वाले संबंध
2.4. ख़राब गुणवत्ता वाला ऑर्डर
2.5. गैर सख्त कमजोर आदेश
2.6. गैर सख्त आदेश
3. सख्त और गैर-सख्त क्रम के संबंधों का द्वंद्व
4. विभिन्न प्रकार के संबंधों के गुणों का अवलोकन

एंटीसिमेट्रिक संबंधों का वर्गीकरण

चक्रीय संबंधों के ग्राफ़ की संरचना

गुणात्मक क्रम के संबंधों के ग्राफ़ की संरचना

कमज़ोर क्रम के संबंध ग्राफ़ की संरचना

सख्त आदेश संबंध

एक सख्त आदेश (सख्त वरीयता, मजबूत आदेश, सख्त रैखिक आदेश) एक एंटीरिफ्लेक्सिव, सकर्मक, कमजोर रूप से जुड़ा हुआ बाइनरी संबंध (12) है।

सख्त आदेश एक अतिरिक्त कमजोर जुड़ी स्थिति के साथ कमजोर आदेश (सख्त आंशिक वरीयता) का एक विशेष मामला है।

उदाहरण: पूर्णांकों के समुच्चय पर संबंध "पूरी तरह से कम"।

प्रतिवर्ती संबंधों का वर्गीकरण

अर्ध-क्रम संबंध

ये द्विआधारी संबंध एक निश्चित सेट के तत्वों की तुलना करना संभव बनाते हैं, लेकिन समानता से नहीं, बल्कि समूहों के तत्वों को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करके, यानी। आंशिक आदेश द्वारा.

एक अर्ध-आदेश (गैर-सख्त आंशिक वरीयता) एक प्रतिवर्ती और सकर्मक द्विआधारी संबंध (3) है।

उदाहरण: "भाई बनना" (इवान-पीटर, एंड्री-अन्ना)

अर्ध-आदेशों के गुण

1. अर्ध-आदेशों का प्रतिच्छेदन अर्ध-आदेश बना रहता है।
2. अर्ध-क्रम के सममित भाग में प्रतिवर्तीता, समरूपता और परिवर्तनशीलता के गुण होते हैं, और इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। आर सी = आर / आर आमंत्रण
3. इस प्रतिच्छेदन की सहायता से, उन वेरिएंट के समूहों का चयन करना संभव है जो एक-दूसरे के समतुल्य हैं, फिर मूल संबंध द्वारा उत्पन्न एक गैर-सख्त आंशिक आदेश संबंध को प्रतिष्ठित समूहों के बीच स्थापित किया जा सकता है।
4. अर्ध-क्रम का असममित भाग एक सकर्मक और प्रतिकर्मक संबंध = गुणात्मक क्रम है।

गैर-सख्त आंशिक आदेश के संबंध

एक गैर-सख्त आंशिक क्रम संबंध (4) एक ऐसा संबंध है जिसमें रिफ्लेक्सिविटी, एंटीसिममेट्री और ट्रांजिटिविटी के गुण होते हैं।

एक गैर-सख्त आंशिक आदेश एक एंटीसिमेट्रिक अर्ध-आदेश है

उदाहरण: सेट (और उनके उपसमुच्चय) के लिए परिभाषित "भाग बनें" संबंध

गैर-सख्त आंशिक आदेशों के गुण

1. गैर-सख्त आंशिक आदेशों का प्रतिच्छेदन एक गैर-सख्त आंशिक आदेश बना हुआ है।
2. एक गैर-सख्त आंशिक क्रम का सममित भाग एक विकर्ण होता है।
3. एक गैर-सख्त आंशिक आदेश का असममित भाग एक (सख्त) गुणात्मक आदेश है।
4. बुद्धिमान प्रणालियों के सिद्धांत में, आंशिक रूप से आदेशित सेट - डोमेन के साथ-साथ उन पर परिभाषित गैर-सख्त आंशिक आदेश संबंधों द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है।
5. अतिरिक्त गुण के साथ आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट, जिसमें तत्वों के प्रत्येक जोड़े की ऊपरी और निचली सीमाएं होती हैं, लैटिस कहलाते हैं। बूलियन बीजगणित जालकों का एक विशेष मामला है।

गैर-सख्त आदेश देने वाले रिश्ते

एक नॉनस्ट्रिक्ट ऑर्डरिंग एक रिफ्लेक्टिव संबंध है जिसमें कमजोर रूप से जुड़ा हुआ गुण (5) होता है।

एक ढीले क्रम को पूरी तरह से जुड़े संबंध के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

गैर-सख्त आदेश संबंध को कुछ सहिष्णुता और प्रभुत्व संबंधों के संयोजन के परिणाम के रूप में माना जा सकता है।

गैर-सख्त आंशिक क्रम के संबंधों के गुण

1. पूर्णतः जुड़े हुए संबंधों का प्रतिच्छेदन और मिलन पूर्णतः जुड़ा हुआ संबंध बना रहता है।
2. गैर-सख्त आंशिक क्रम का सममित भाग सहिष्णुता है।
3. एक गैर-सख्त आंशिक क्रम का असममित भाग एक प्रभुत्व है।
4. पूर्ण रूप से जुड़े संबंधों के लिए सकर्मकता की एक आवश्यक शर्त यह है कि संबंध नकारात्मक रूप से सकर्मक हो।
5. पूरी तरह से जुड़े संबंधों के लिए, सकर्मकता का गुण संबंध के नकारात्मक रूप से सकर्मक होने के लिए पर्याप्त शर्त है।

गैर सख्त गुणात्मक क्रम के संबंध

एक द्विआधारी संबंध आर को एक गैर-सख्त गुणात्मक क्रम कहा जाता है यदि यह नकारात्मक है और पूरी तरह से जुड़ा हुआ है (6)।

एक गैर-सख्त गुणात्मक आदेश एक नकारात्मक गैर-सख्त आदेश है।

गैर-सख्त गुणात्मक क्रम के संबंध को सहिष्णुता और गुणात्मक क्रम के कुछ संबंधों के संयोजन के परिणाम के रूप में दर्शाया जा सकता है।

गैर-सख्त गुणात्मक क्रम के संबंधों के गुण

1. गैर-सख्त गुणात्मक क्रम का सममित भाग सहिष्णुता है। एनटी?
2. एक गैर-सख्त गुणात्मक आदेश का असममित हिस्सा सकर्मक है, और इसलिए एक गुणात्मक आदेश संबंध है।
3. इस प्रकार, गैर-सख्त गुणात्मक आदेश संबंध को मूल संबंध द्वारा उत्पन्न सहिष्णुता और गुणात्मक आदेश संबंधों के मिलन के परिणाम के रूप में दर्शाया जा सकता है।
4. द्वैत संबंध में विषमता और परिवर्तनशीलता के गुण होते हैं, इसलिए यह गुणात्मक क्रम का संबंध है।

गैर सख्त कमजोर आदेश के संबंध

एक गैर-सख्त कमजोर आदेश एक पूरी तरह से जुड़ा हुआ सकर्मक और नकारात्मक सकर्मक संबंध (7) है।

एक गैर-सख्त कमजोर आदेश एक पूरी तरह से जुड़ा हुआ सकर्मक संबंध है।

एक गैर-सख्त कमजोर आदेश एक सकर्मक गैर-सख्त आदेश है।

गैर-सख्त कमजोर क्रम के संबंधों के गुण

1. एक गैर-सख्त कमजोर क्रम का सममित भाग एक तुल्यता है।
2. एक गैर-सख्त कमजोर क्रम का असममित भाग आरएसी सकर्मक है, और इसलिए गुणात्मक क्रम का संबंध है।
3. इस प्रकार, एक गैर-सख्त कमजोर आदेश संबंध को मूल संबंध द्वारा उत्पन्न तुल्यता और कमजोर आदेश संबंधों के मिलन के परिणाम के रूप में दर्शाया जा सकता है।
4. एक गैर-सख्त कमजोर क्रम को आंशिक रूप से क्रमित परतों के एक सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक तुल्यता वर्ग है।

गैर-सख्त (रैखिक) क्रम के संबंध

एक गैर-सख्त आदेश (गैर-सख्त रैखिक आदेश) एक एंटीसिमेट्रिक, सकर्मक, पूरी तरह से जुड़ा हुआ बाइनरी संबंध (8) है।

एक गैर-सख्त आदेश एक एंटीसिमेट्रिक गैर-सख्त कमजोर आदेश है।

एक गैर-सख्त आदेश एक सममित-विरोधी गैर-सख्त आदेश है।

गैर-सख्त रैखिक क्रम के संबंधों के गुण

1. एक गैर-सख्त क्रम का सममित भाग एक विकर्ण होता है।
2. गैर-सख्त क्रम का असममित भाग आर एसी सकर्मक और कमजोर रूप से जुड़ा हुआ है, और इसलिए सख्त आदेश का संबंध है।
3. दोहरे संबंध में विषमता, नकारात्मकता और कमजोर जुड़ाव के गुण होते हैं, इसलिए यह सख्त क्रम का संबंध है। इसके अलावा, यह आर एसी के साथ मेल खाता है।
4. इस प्रकार, गैर-सख्त आदेश संबंध को विकर्ण के मिलन और मूल संबंध द्वारा उत्पन्न सख्त आदेश के परिणाम के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सख्त और गैर-कठोर क्रम के संबंधों का द्वंद्व

विभिन्न प्रकार के संबंधों के गुणों का अवलोकन

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