संबंध गुण:

1) रिफ्लेक्सिविटी;

2) समरूपता;

3) परिवर्तनशीलता.

4) जुड़ाव.

नज़रिया आरमंच पर एक्सबुलाया चिंतनशीलयदि सेट के प्रत्येक तत्व के बारे में एक्सयह कहा जा सकता है कि यह संबंध में है आरखुद के साथ: एक्सआरएक्स.यदि संबंध प्रतिवर्ती है, तो ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है। इसके विपरीत, एक ग्राफ़ जिसके प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है, एक रिफ्लेक्सिव रिलेशन ग्राफ़ होता है।

प्रतिवर्ती संबंधों के उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "एकाधिक" संबंध हैं (प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणज है), और त्रिकोणों का समानता संबंध (प्रत्येक त्रिकोण स्वयं के समान है), और "समानता" संबंध (प्रत्येक संख्या) स्वयं के बराबर है), आदि।

ऐसे संबंध हैं जिनमें प्रतिवर्तीता का गुण नहीं होता है, उदाहरण के लिए, खंडों की लंबवतता का संबंध: अब, बा(ऐसा कोई खंड नहीं है जिसे स्वयं के लंबवत कहा जा सके) . इसलिए, इस संबंध के ग्राफ़ पर कोई लूप नहीं हैं।

इसमें रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं है और अनुपात खंडों के लिए "लंबा" है, प्राकृतिक संख्याओं के लिए "2 से अधिक" है, आदि।

नज़रिया आरमंच पर एक्सबुलाया विरोधी प्रतिबिम्ब, यदि सेट से किसी भी तत्व के लिए एक्सहमेशा झूठ एक्सआरएक्स: .

ऐसे रिश्ते हैं जो न तो प्रतिवर्ती हैं और न ही प्रतिप्रतिक्रियाशील हैं। ऐसे रिश्ते का एक उदाहरण रिश्ता "बिंदु" है एक्सएक बिंदु के सममित परअपेक्षाकृत सीधा एल”, विमान के बिंदुओं के सेट पर परिभाषित। दरअसल, रेखा के सभी बिंदु एलअपने आप में सममित होते हैं, और ऐसे बिंदु जो एक रेखा पर नहीं होते हैं मैं,स्वयं के प्रति सममित नहीं हैं।

नज़रिया आरमंच पर एक्सबुलाया सममित, यदि शर्त पूरी होती है: इस तथ्य से कि तत्व एक्सतत्व के संबंध में है य, यह इस प्रकार है कि तत्व यसंबंध में है आरतत्व के साथ एक्स:xRyyRx .

एक सममित संबंध के ग्राफ में निम्नलिखित विशेषता है: साथ में प्रत्येक तीर से आ रहा है एक्सको य, ग्राफ़ में एक तीर जाता है यको एक्स(चित्र 35)।

सममित संबंधों के उदाहरण निम्नलिखित हो सकते हैं: खंडों की "समानांतरता" का अनुपात, खंडों की "लंबवतता" का अनुपात, खंडों की "समानता" का अनुपात, त्रिकोणों की समानता का अनुपात, "समानता" का अनुपात अंश, आदि

ऐसे रिश्ते होते हैं जिनमें समरूपता का गुण नहीं होता।

वास्तव में, यदि खंड एक्सखंड से अधिक लंबा पर, फिर खंड परखंड से अधिक लंबा नहीं हो सकता एक्स. इस संबंध के ग्राफ़ में एक विलक्षणता है: शीर्षों को जोड़ने वाला तीर केवल एक दिशा में निर्देशित होता है।

नज़रिया आरबुलाया antisymmetric, यदि किसी तत्व के लिए एक्सऔर यसच्चाई से बाहर xRyमिथ्यात्व अनुसरण करता है yRx: : xRyyRx.

"लंबे" संबंध के अलावा, खंडों के सेट पर अन्य एंटीसिमेट्रिक संबंध भी हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं के लिए संबंध "से बड़ा" (यदि)। एक्सअधिक पर, वह परअधिक नहीं हो सकता एक्स), अनुपात "अधिक द्वारा", आदि।

ऐसे रिश्ते होते हैं जिनमें न तो समरूपता का गुण होता है और न ही प्रतिसमरूपता का गुण होता है।

सेट पर रिलेशन आर एक्सबुलाया सकर्मकयदि किस तत्व से एक्ससंबंध में है आरतत्व के साथ हाँ,और तत्व यसंबंध में है आरतत्व के साथ जेड, यह इस प्रकार है कि तत्व एक्ससंबंध में है आरतत्व के साथ जेड: xRyऔर yRzxRz.

से जाने वाले तीरों के प्रत्येक जोड़े के साथ एक संक्रमणीय संबंध का ग्राफ़ एक्सको यऔर से यको जेड, जिसमें से एक तीर जा रहा है एक्सको जेड

खंडों के सेट पर "लंबा" संबंध में परिवर्तनशीलता की संपत्ति भी होती है: यदि खंड एखंड से अधिक लंबा बी, रेखा खंड बीखंड से अधिक लंबा साथ, फिर खंड एखंड से अधिक लंबा साथ।खंडों के सेट पर "समानता" संबंध में परिवर्तनशीलता का गुण भी होता है: (ए=बी, बी=सी)(ए=सी).

ऐसे रिश्ते भी होते हैं जिनमें परिवर्तनशीलता का गुण नहीं होता। ऐसा संबंध है, उदाहरण के लिए, लंबवतता संबंध: यदि खंड एखंड के लंबवत बी, और खंड बीखंड के लंबवत साथ, फिर खंड एऔर साथलंबवत नहीं!

संबंधों का एक और गुण होता है जिसे जुड़ा हुआ गुण कहा जाता है, और जिस रिश्ते में यह होता है उसे जुड़ा हुआ कहा जाता है।

नज़रिया आरमंच पर एक्सबुलाया संबंधित,यदि किसी तत्व के लिए एक्सऔर यइस सेट से, निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: यदि एक्सऔर यभिन्न हैं, तो या तो एक्ससंबंध में है आरतत्व के साथ य, या तत्व यसंबंध में है आरतत्व के साथ एक्स. प्रतीकों का प्रयोग करते हुए इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: xyxRyया yRx.

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के लिए "से बड़ा" संबंध में जुड़े होने का गुण होता है: किसी भी भिन्न संख्या x और y के लिए, कोई भी किसी एक पर जोर दे सकता है x>य, या y>x.

एक संबंध ग्राफ़ में, कोई भी दो शीर्ष एक तीर से जुड़े होते हैं। इसका उलटा भी सच है।

ऐसे भी रिश्ते होते हैं जिनमें जुड़ाव का गुण नहीं होता। उदाहरण के लिए, ऐसा संबंध प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विभाज्यता का संबंध है: हम ऐसी संख्याओं को x और कह सकते हैं यसंख्या जो भी हो एक्सविभाजक नहीं है य, नंबर नहीं है यविभाजक नहीं है एक्स(संख्या 17 और 11 , 3 और 10 वगैरह।) .

आइए कुछ उदाहरण देखें. मंच पर एक्स=(1, 2, 4, 8, 12)संबंध "संख्या एक्सके गुणक य". आइए हम इस संबंध का एक ग्राफ बनाएं और इसके गुण तैयार करें।

भिन्नों की समानता के संबंध के बारे में वे कहते हैं, यह तुल्यता संबंध है।

नज़रिया आरमंच पर एक्सबुलाया तुल्यता संबंध,यदि इसमें एक साथ प्रतिवर्तीता, समरूपता और परिवर्तनशीलता के गुण हों।

समतुल्य संबंधों के उदाहरण हैं: समानता संबंध ज्यामितीय आकार, रेखाओं की समानता का अनुपात (बशर्ते कि संपाती रेखाओं को समानांतर माना जाए)।

ऊपर चर्चा की गई "भिन्नों की समानता" के संबंध में, सेट एक्सतीन उपसमूहों में विभाजित: ; ; }, {; } , (). ये उपसमुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते और उनका मिलन समुच्चय के साथ मेल खाता है एक्स, अर्थात। हमारे पास सेट का वर्गों में विभाजन है।

इसलिए, यदि किसी समुच्चय

इस प्रकार, हमने सेट पर समानता का संबंध स्थापित किया है
एक्स=( ;; ; ; ; ) इस सेट के समतुल्य वर्गों में विभाजन से मेल खाता है, जिनमें से प्रत्येक में समान भिन्न होते हैं।

किसी समतुल्य संबंध के माध्यम से किसी समुच्चय को वर्गों में विभाजित करने का सिद्धांत गणित का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है। क्यों?

प्रथम, समतुल्य - इसका अर्थ है समतुल्य, विनिमेय। इसलिए, समान तुल्यता वर्ग के तत्व विनिमेय हैं। तो, भिन्न जो समान तुल्यता वर्ग (; ; ) में हैं, समानता और भिन्न के संबंध की दृष्टि से अप्रभेद्य हैं उदाहरण के लिए, दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है . और यह प्रतिस्थापन गणना के परिणाम को नहीं बदलेगा।

दूसरे, चूँकि समतुल्य वर्ग में ऐसे तत्व हैं जो किसी संबंध के दृष्टिकोण से अप्रभेद्य हैं, इसलिए यह माना जाता है कि समतुल्य वर्ग उसके किसी भी प्रतिनिधि द्वारा निर्धारित होता है, अर्थात। वर्ग का मनमाना तत्व। अतः, समान भिन्नों के किसी भी वर्ग को इस वर्ग से संबंधित किसी भी भिन्न को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। एक प्रतिनिधि के संबंध में एक समतुल्य वर्ग, एक सेट के सभी तत्वों के बजाय, समतुल्य वर्गों के प्रतिनिधियों के एक समूह का अध्ययन करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, बहुभुजों के एक सेट पर दिया गया तुल्यता संबंध "शीर्षों की समान संख्या है" इस सेट का एक विभाजन त्रिकोण, चतुर्भुज, पंचकोण, और इसी तरह के वर्गों में उत्पन्न करता है। एक निश्चित वर्ग में निहित गुणों को उसके प्रतिनिधियों में से एक पर विचार किया जाता है।

तीसरा, समतुल्य संबंध की सहायता से किसी समुच्चय को वर्गों में विभाजित करने का उपयोग नई अवधारणाओं को प्रस्तुत करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, "रेखाओं का एक बंडल" की अवधारणा को उस सामान्य चीज़ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो समानांतर रेखाओं में एक दूसरे के साथ होती है।

अन्य महत्वपूर्ण दृश्यरिश्ते व्यवस्था के रिश्ते हैं. समस्या पर विचार करें। सेट पर एक्स={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) संबंध “से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है 3 ". यह संबंध सेट का एक विभाजन उत्पन्न करता है एक्सवर्गों में: एक से विभाजित करने पर सभी संख्याएँ शामिल होंगी 3 शेष में प्राप्त हुआ 0 (ये संख्याएँ हैं 3, 6, 9 ). दूसरे में - संख्याएँ, जब विभाजित होती हैं 3 शेष है 1 (ये संख्याएँ हैं 4, 7, 10 ). से विभाजित करने पर तीसरे में सभी संख्याएँ शामिल होंगी 3 शेष है 2 (ये संख्याएँ हैं 5, 8 ). वास्तव में, परिणामी समुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और उनका मिलन समुच्चय के साथ मेल खाता है एक्स. इसलिए, संबंध "से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है 3 »सेट पर परिभाषित एक्स, एक तुल्यता संबंध है।

एक अन्य उदाहरण लेने के लिए, एक कक्षा में कई छात्रों को ऊंचाई या उम्र के आधार पर क्रमबद्ध किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस संबंध में प्रतिसममिति और परिवर्तनशीलता के गुण हैं। या फिर वर्णमाला के अक्षरों का क्रम तो हर कोई जानता है। यह "चाहिए" दृष्टिकोण द्वारा प्रदान किया जाता है।

नज़रिया आरमंच पर एक्सबुलाया सख्त आदेश संबंध, यदि इसमें एक साथ एंटीसिमेट्री और ट्रांज़िटिविटी के गुण हों। उदाहरण के लिए, संबंध एक्स< य».

यदि संबंध में रिफ्लेक्सिविटी, एंटीसिममेट्री और ट्रांज़िटिविटी के गुण हैं, तो यह ऐसा होगा नज़रिया ढीला आदेश . उदाहरण के लिए, संबंध एक्सय».

क्रम संबंध के उदाहरण हैं: प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "से कम" संबंध, खंडों के सेट पर "छोटा" संबंध। यदि किसी ऑर्डर रिलेशन में भी जुड़े रहने का गुण हो तो उसे कहा जाता है रैखिक क्रम संबंध. उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "इससे कम" संबंध।

गुच्छा एक्सबुलाया व्यवस्थित,यदि इसका ऑर्डर संबंध है।

उदाहरण के लिए, बहुत सारे एक्स={2, 8, 12, 32 ) को "इससे कम" संबंध (चित्र 41) का उपयोग करके आदेश दिया जा सकता है, या इसे "एकाधिक" संबंध (चित्र 42) का उपयोग करके किया जा सकता है। लेकिन, एक क्रम संबंध होने के नाते, "से कम" और "गुणा" संबंध प्राकृतिक संख्याओं के सेट को अलग-अलग तरीकों से क्रमबद्ध करते हैं। "इससे कम" संबंध आपको सेट से किन्हीं दो संख्याओं की तुलना करने की अनुमति देता है एक्स, और संबंध "गुणा" में ऐसी कोई संपत्ति नहीं है। हाँ, कुछ संख्याएँ। 8 और 12 "गुणा" संबंध से बंधा नहीं है: ऐसा नहीं कहा जा सकता 8 एकाधिक 12 या 12 एकाधिक 8.

ऐसा नहीं सोचना चाहिए कि सभी संबंध तुल्यता संबंध और व्यवस्था संबंध में विभाजित हैं। ऐसे संबंधों की एक बड़ी संख्या है जो न तो तुल्यता संबंध हैं और न ही आदेश संबंध हैं।

किसी समुच्चय पर द्विआधारी संबंध की सामान्य अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, हम उसी तरह आगे बढ़ते हैं जैसे पत्राचार के मामले में,

वे। आइए पहले एक विशिष्ट उदाहरण देखें। माना कि समुच्चय X = (2, 4, 6, 8) पर "इससे कम" संबंध दिया गया है। इसका मतलब यह है कि समुच्चय X में से किन्हीं दो संख्याओं के लिए, आप कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी संख्या कम है: 2< 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения X х X, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества X х X.

सामान्य तौर पर, समुच्चय X पर द्विआधारी संबंधों को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया जाता है:

परिभाषा। समुच्चय X पर एक द्विआधारी संबंध कार्तीय गुणनफल X x X का कोई उपसमुच्चय है।

चूँकि भविष्य में हम केवल द्विआधारी संबंधों पर विचार करेंगे, एक नियम के रूप में, "बाइनरी" शब्द को छोड़ दिया जाएगा।

आइए हम संबंधों को आर, एस, टी, पी, आदि अक्षरों से निरूपित करने के लिए सहमत हों।

यदि R समुच्चय X पर संबंध हैं, तो, परिभाषा के अनुसार, R X x X। दूसरी ओर, यदि समुच्चय X x

यह कथन कि तत्व x और y संबंध R में हैं, इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x, y) R या x R y। अंतिम प्रविष्टि में लिखा है: "तत्व x, तत्व y के साथ R के संबंध में है।"

रिश्तों को पत्राचार की तरह ही परिभाषित किया जाता है। एक संबंध को सेट एक्स के तत्वों के जोड़े को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो इस संबंध में हैं। ऐसे जोड़ियों के प्रतिनिधित्व के रूप भिन्न हो सकते हैं - वे पत्राचार के असाइनमेंट के रूपों के समान हैं। अंतर ग्राफ़ का उपयोग करके संबंध स्थापित करने से संबंधित हैं।

आइए, उदाहरण के लिए, सेट X= (2, 4, 6, 8) पर दिए गए "से कम" संबंधों का एक ग्राफ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम सेट

उसी सेट एक्स पर, एक और संबंध माना जा सकता है - "गुणा"। इस संबंध के ग्राफ़ में प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होगा (एक तीर जिसका आरंभ और अंत संपाती है), क्योंकि प्रत्येक संख्या स्वयं का गुणज है (चित्र 2)।

एक संबंध को दो-चर खंड का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, ऊपर माने गए संबंध "इससे कम" और "गुणा" दिए गए हैं, और वाक्यों का संक्षिप्त रूप "संख्या x" है संख्या से कम y" और "x, y का गुणज है"। इनमें से कुछ वाक्यों को प्रतीकों का उपयोग करके लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, "से कम" और "गुणा" संबंधों को निम्नलिखित रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है: "x"।<у», «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3).

सेट उदाहरण के लिए, यदि R संबंध "x, y से छोटा है" है, तो संबंध "y, x से बड़ा है" इसका व्युत्क्रम होगा।

किसी दिए गए संबंध के व्युत्क्रम की अवधारणा का उपयोग अक्सर गणित के प्रारंभिक शिक्षण में किया जाता है। उदाहरण के लिए, उस क्रिया को चुनने में त्रुटि को रोकने के लिए जिसके साथ समस्या हल की जाती है: “पेट्या के पास 7 पेंसिलें हैं, जो बोरिस से 2 कम हैं। बोरिस के पास कितनी पेंसिलें हैं? - इसे दोबारा तैयार किया जाएगा: “पेट्या के पास 7 पेंसिलें हैं, और बोरिया के पास 2 और हैं। बोरिस के पास कितनी पेंसिलें हैं? हम देखते हैं कि पुनर्निर्धारण को "2 से कम" संबंध को व्युत्क्रम संबंध "2 से अधिक" से प्रतिस्थापित करने तक सीमित कर दिया गया था।

संबंध गुण

हमने स्थापित किया है कि समुच्चय X पर एक द्विआधारी संबंध कार्टेशियन उत्पाद XxX से संबंधित तत्वों के क्रमित युग्मों का एक समुच्चय है। यह किसी भी रिश्ते का गणितीय सार है. लेकिन, किसी भी अन्य अवधारणा की तरह, रिश्तों में भी गुण होते हैं। वे विभिन्न विशिष्ट संबंधों का अध्ययन करके अलग करने में सक्षम थे। बहुत सारी संपत्तियाँ हैं, अपने पाठ्यक्रम में हम केवल कुछ का ही अध्ययन करेंगे। चित्र में दिखाए गए खंडों के सेट पर विचार करें। 3, लंबवतता, समानता और "लंबा" का संबंध। हम इन संबंधों के ग्राफ़ बनाएंगे (चित्र 4) और उनकी तुलना करेंगे।

हम देखते हैं कि समानता संबंध ग्राफ अपने प्रत्येक शीर्ष पर लूप की उपस्थिति से अन्य दो से भिन्न होता है। ये लूप इस तथ्य का परिणाम हैं कि समान खंडों के संबंध में यह गुण होता है कि कोई भी खंड स्वयं के बराबर होता है। समानता के संबंध को संपत्ति कहा जाता है रिफ्लेक्सिविटी या बस यह क्या है reflexively .

परिभाषा। समुच्चय X पर संबंध R को प्रतिवर्ती कहा जाता है यदि समुच्चय

आर रिफ्लेक्सिवली एक्स पर<=>किसी भी x X के लिए xRx

यदि संबंध R समुच्चय X पर प्रतिवर्ती है, तो इस संबंध के ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है। विपरीत कथन भी सत्य है: एक ग्राफ, जिसके प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है, उन संबंधों को परिभाषित करता है जिनमें रिफ्लेक्सिविटी का गुण होता है।

प्रतिवर्ती संबंधों के उदाहरण:

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "एकाधिक" होता है (प्रत्येक प्राकृतिक संख्या स्वयं का एक गुणज होती है);

त्रिभुजों का समरूपता संबंध (प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समान होता है)।

ऐसे रिश्ते भी होते हैं जिनमें रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं होता। उदाहरण के लिए, खंडों के एक सेट पर लंबवतता का संबंध ऐसा है: एक भी खंड ऐसा नहीं है जिसके बारे में यह कहा जा सके कि यह स्वयं पर लंबवत है। इसलिए, लंबवत संबंध के ग्राफ पर एक भी लूप नहीं है (चित्र 4)। इसमें रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं है और खंडों के लिए अनुपात "लंबा" है।

आइए अब हम खंडों की लंबवतता और समानता के ग्राफ़ पर ध्यान दें। वे इस मायने में "समान" हैं कि यदि तत्वों की एक जोड़ी को जोड़ने वाला एक तीर है, तो समान तत्वों को जोड़ने वाला एक और तीर होना चाहिए, लेकिन विपरीत दिशा में जा रहा है। ग्राफ़ की यह विशेषता उन गुणों को दर्शाती है जो समानता और खंडों की समानता के संबंधों में हैं:

यदि एक खंड दूसरे खंड पर लंबवत है, तो यह "अन्य" पहले पर लंबवत है;

यदि एक खंड दूसरे खंड के बराबर है, तो यह "अन्य" पहले खंड के बराबर है।

खंडों की लंबवतता और समानता के संबंध के बारे में वे कहते हैं कि उनमें समरूपता का गुण होता है या वे केवल सममित होते हैं।

परिभाषा। समुच्चय

प्रतीकों का उपयोग करके इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

R, X पर सममित है<=>(xRy => yRx)

सममित संबंध के ग्राफ़ की ख़ासियत यह है कि, x से y तक जाने वाले प्रत्येक तीर के साथ, ग्राफ़ में y से x तक जाने वाला एक तीर भी होता है। इसका उलटा भी सच है। एक ग्राफ, जिसमें x से y तक जाने वाला प्रत्येक तीर और y से x तक जाने वाला एक तीर शामिल है, एक सममित संबंध ग्राफ है।

सममित संबंधों के दो उदाहरणों के अलावा, हम निम्नलिखित जोड़ते हैं:

रेखाओं के समुच्चय पर समांतरता का संबंध (यदि रेखा x, रेखा y के समानांतर है, तो रेखा y भी रेखा x के समानांतर है);

त्रिभुजों का समरूपता संबंध (यदि त्रिभुज F, त्रिभुज P के समरूप है, तो त्रिभुज P, त्रिभुज F के समरूप है)।

ऐसे रिश्ते होते हैं जिनमें समरूपता का गुण नहीं होता। उदाहरण के लिए, खंडों के सेट पर "लंबा" संबंध ऐसा है। दरअसल, यदि खंड x खंड y से लंबा है, तो खंड y खंड x से लंबा नहीं हो सकता। "लंबे" रिश्ते के बारे में वे कहते हैं कि इसमें एंटीसिमेट्री या बस एंटीसिमेट्रिक का गुण होता है।

परिभाषा। समुच्चय X पर एक संबंध R को एंटीसिमेट्रिक कहा जाता है यदि समुच्चय तत्व x के साथ संबंध R .

एक्स पर एंटीसिमेट्रिक<=>(xRy और x≠y => )

एक एंटीसिमेट्रिक संबंध के ग्राफ में एक विलक्षणता होती है: यदि ग्राफ के दो शीर्ष एक तीर से जुड़े होते हैं, तो यह तीर केवल एक होता है। विपरीत कथन भी सत्य है: एक ग्राफ़ जिसके शीर्ष केवल एक तीर से जुड़े होते हैं, एक एंटीसिमेट्रिक संबंध का ग्राफ़ होता है।

उदाहरण के लिए, खंडों के सेट पर "लंबे" संबंध के अलावा, निम्नलिखित में एंटीसिममेट्री गुण होता है:

संख्याओं के लिए "इससे बड़ा" संबंध (यदि x, y से बड़ा है, तो y, x से बड़ा नहीं हो सकता);

संख्याओं के लिए अनुपात "2 से अधिक" (यदि x, y से 2 अधिक है, तो y, x से 2 अधिक नहीं हो सकता)।

ऐसे रिश्ते होते हैं जिनमें न तो समरूपता का गुण होता है और न ही प्रतिसमरूपता का गुण होता है। उदाहरण के लिए, एक ही परिवार के बच्चों के बीच "बहन होने" के रिश्ते पर विचार करें। बता दें कि परिवार में तीन बच्चे हैं: कात्या, माशा और तोल्या। तब "बहन बनना" संबंध का ग्राफ चित्र 5 के अनुसार होगा। इससे पता चलता है कि इस संबंध में न तो समरूपता का गुण है और न ही प्रतिसमरूपता का गुण है।

आइए एक बार फिर संबंध ग्राफ़ की एक विशेषता "लंबा" पर ध्यान दें (चित्र 4)। इस पर आप देख सकते हैं: यदि तीर खींचे गए हैं इको एऔर से एको साथ, अर्थात् एक तीर से इको साथ; यदि तीर से हैं इको बीऔर से बीको साथ, वह है, एक तीर और से इको साथवगैरह। ग्राफ़ की यह विशेषता "लंबे" संबंध की एक महत्वपूर्ण संपत्ति को दर्शाती है: यदि पहला खंड दूसरे से लंबा है, और दूसरा तीसरे से लंबा है, तो पहला तीसरे से अधिक लंबा है। कहा जाता है कि इस संबंध में सकर्मकता का गुण होता है, या बस सकर्मक होता है।

परिभाषा। किसी समुच्चय तत्व z के साथ संबंध R.

प्रतीकों का प्रयोग करते हुए इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

R, X पर सकर्मक है<=>(xRy और yRz => xRz)

से जाने वाले तीरों के प्रत्येक जोड़े के साथ एक संक्रमणीय संबंध का ग्राफ़ एक्सको परऔर परको जेड, जिसमें से एक तीर जा रहा है एक्सको जेड. इसका उलटा भी सच है।

खंडों के सेट पर "लंबे" संबंध के अलावा, समानता संबंध में परिवर्तनशीलता की संपत्ति होती है: यदि खंड एक्सखंड के बराबर परऔर खंड परखंड के बराबर जेड, फिर खंड एक्सखंड के बराबर जेड. यह गुण समानता संबंध ग्राफ़ में भी परिलक्षित होता है (चित्र 4)

ऐसे रिश्ते भी होते हैं जिनमें परिवर्तनशीलता का गुण नहीं होता। ऐसा संबंध, उदाहरण के लिए, लंबवतता का संबंध है: यदि खंड ए खंड डी के लंबवत है, और खंड डी खंड बी के लंबवत है, तो खंड ए और बी लंबवत नहीं हैं!

संबंधों की एक और संपत्ति पर विचार करें, जिसे जुड़ा हुआ संपत्ति कहा जाता है, और जिस रिश्ते में यह होता है उसे जुड़ा हुआ कहा जाता है।

परिभाषा। समुच्चय X पर एक संबंध R को जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि समुच्चय तत्व x के साथ संबंध R में है।

प्रतीकों का प्रयोग करते हुए इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

R सेट X पर जुड़ा हुआ है<=>(x≠y xRy या yRx)

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के लिए "से बड़ा" संबंध में जुड़े होने का गुण होता है: किसी भी अलग संख्या x और y के लिए, कोई कह सकता है कि या तो x > y या y > x।

एक संबंध ग्राफ़ में, कोई भी दो शीर्ष एक तीर से जुड़े होते हैं। इसका उलटा भी सच है।

कुछ रिश्ते ऐसे भी होते हैं जिनमें जुड़े रहने का गुण नहीं होता. ऐसा संबंध, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विभाज्यता का संबंध है: हम ऐसी संख्याओं को xny कह सकते हैं जैसे कि न तो संख्या x, संख्या y का भाजक है, न ही संख्या y, संख्या x का भाजक है .

चयनित गुण हमें सामान्य दृष्टिकोण से विभिन्न संबंधों का विश्लेषण करने की अनुमति देते हैं - उनमें कुछ गुणों की उपस्थिति (या अनुपस्थिति)।

इसलिए, यदि हम खंडों के सेट (चित्र 4) पर दिए गए समानता संबंध के बारे में कही गई हर बात का सारांश देते हैं, तो यह पता चलता है कि यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमणीय है। खंडों के एक ही सेट पर "लंबा" संबंध एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव है, जबकि लंबवतता संबंध सममित है, लेकिन इसमें रिफ्लेक्सिविटी और ट्रांजिटिविटी के गुण नहीं हैं। ये सभी संबंध एक दिए गए सेट पर हैं

खंड जुड़े नहीं हैं.

कार्य 1. ग्राफ़ द्वारा दिए गए संबंध आर के गुण तैयार करें (चित्र 6)।

समाधान। संबंध R- एंटीसिमेट्रिक है, क्योंकि ग्राफ़ के शीर्ष केवल एक तीर से जुड़े हुए हैं।

संबंध R सकर्मक है, क्योंकि तीरों की एक जोड़ी से आ रही है बीको एऔर से एको साथ, से ग्राफ़ पर एक तीर जा रहा है बीको साथ.

संबंध R जुड़ा हुआ है, क्योंकि कोई भी दो शीर्ष एक तीर से जुड़े हुए हैं।

संबंध R में रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ पर ऐसे शीर्ष हैं जिनमें कोई लूप नहीं हैं।

कार्य 2. प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर दिए गए संबंध "2 गुना से अधिक" के गुणों का निरूपण करें।

समाधान। "2 गुना से अधिक" रिश्ते का संक्षिप्त रूप है "x की संख्या y की संख्या से 2 गुना अधिक है।" यह संबंध एंटीसिमेट्रिक है, क्योंकि शर्त पूरी हो गई है: इस तथ्य से कि संख्या x, संख्या y से 2 गुना अधिक है, यह इस प्रकार है कि संख्या y, संख्या x से 2 गुना अधिक नहीं है।

इस संबंध में प्रतिवर्तीता का गुण नहीं है, क्योंकि कोई भी संख्या अपने से दोगुनी बड़ी नहीं कही जा सकती।

दिया गया अनुपातसकर्मक नहीं, क्योंकि इस तथ्य से कि संख्या एक्सअधिक संख्या पर 2 से, और संख्या y संख्या से बड़ी है जेड 2 से, यह इस प्रकार है कि संख्या एक्सएक संख्या से अधिक नहीं हो सकता जेड 2 पर.

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर इस संबंध में जुड़े होने का गुण नहीं है, क्योंकि संख्याओं x और y के जोड़े ऐसे हैं कि न तो संख्या y से दोगुनी बड़ी है और न ही संख्या y, x से दोगुनी बड़ी है। उदाहरण के लिए, ये संख्याएँ 7 और 3.5 और 8 आदि हैं।

रोजमर्रा की जिंदगी में हमें लगातार "रिश्ते" की अवधारणा से जूझना पड़ता है। रिश्ते किसी सेट के तत्वों के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करने के तरीकों में से एक हैं।

यूनरी (एकल-स्थान) संबंध सेट एम के तत्वों के लिए एकल विशेषता आर की उपस्थिति को दर्शाते हैं (उदाहरण के लिए, कलश में गेंदों के सेट पर "लाल होना")।

पारस्परिक निर्धारण के लिए बाइनरी (दोहरे) संबंधों का उपयोग किया जाता है

रिश्ते जो एक सेट में तत्वों के जोड़े की विशेषता बताते हैं एम.

उदाहरण के लिए, लोगों के एक समूह पर, निम्नलिखित संबंध निर्धारित किए जा सकते हैं: "एक ही शहर में रहते हैं", " एक्सके मार्गदर्शन में कार्य करता है य”, “बेटा होना”, “बड़ा होना”, आदि। संख्याओं के सेट पर: "संख्या एअधिक संख्या बी", "संख्या एसंख्या का भाजक है बी”, “संख्याएँ एऔर बी 3 से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है।

प्रत्यक्ष उत्पाद में, कहाँ ए- किसी भी विश्वविद्यालय के छात्रों का एक समूह, बी- अध्ययन किए गए विषयों का एक सेट, क्रमित जोड़े के एक बड़े उपसमूह को प्रतिष्ठित किया जा सकता है (ए,बी)संपत्ति होना: "छात्र एविषय का अध्ययन करता है बी". निर्मित उपसमुच्चय "सीखने" संबंध को दर्शाता है जो छात्रों और विषयों के समूह के बीच होता है। उदाहरणों की संख्या बढ़ती ही जा रही है

दो वस्तुओं के बीच का संबंध अर्थशास्त्र, भूगोल, जीव विज्ञान, भौतिकी, भाषा विज्ञान, गणित और अन्य विज्ञानों के अध्ययन का विषय है।

दो सेटों के तत्वों के बीच किसी भी संबंध के कठोर गणितीय विवरण के लिए, एक द्विआधारी संबंध की अवधारणा पेश की गई है।

सेट ए और बी के बीच द्विआधारी संबंधप्रत्यक्ष उत्पाद का उपसमुच्चय R कहलाता है. ऐसे में जब आप सिर्फ रिश्ते के बारे में बात कर सकते हैं आरपर ए.

उदाहरण 1. द्विआधारी संबंधों से संबंधित क्रमित जोड़े लिखें आर 1और आर2, सेट पर परिभाषित एऔर : , । सबसेट आर 1जोड़े से मिलकर बनता है: . सबसेट ।

डोमेन आरसे सभी तत्वों का समुच्चय है एजैसे कि कुछ तत्वों के लिए हमारे पास है। दूसरे शब्दों में, परिभाषा का क्षेत्र आरसे क्रमित युग्मों के सभी प्रथम निर्देशांकों का समुच्चय है आर.

अनेक मूल्यरिश्ता आरवहां कुछ के लिए ऐसे सभी का एक सेट है। दूसरे शब्दों में, मूल्यों का समुच्चय आरसे क्रमित युग्मों के सभी दूसरे निर्देशांकों का समुच्चय है आर.

उदाहरण 1 के लिए आर 1परिभाषा का क्षेत्र: , मानों का सेट - . के लिए आर2परिभाषा का क्षेत्र: , मानों का सेट: .

कई मामलों में द्विआधारी संबंध के ग्राफिक प्रतिनिधित्व का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसे दो तरीकों से किया जाता है: समतल पर बिंदुओं की सहायता से और तीरों की सहायता से।

पहले मामले में, दो परस्पर लंबवत रेखाओं को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों के रूप में चुना जाता है। क्षैतिज अक्ष पर सेट के तत्व रखें एऔर प्रत्येक बिंदु से होकर एक लंबवत रेखा खींचें। सेट के तत्वों को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर रखें बीप्रत्येक बिंदु से होकर एक क्षैतिज रेखा खींचें। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्यक्ष उत्पाद के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उदाहरण 5. होने देना , ।

होने देना आर 1क्रमित युग्मों की गणना पर दिया गया: . द्विआधारी संबंध आर2सेट पर नियम दिया गया है: एक जोड़ी का ऑर्डर दिया जाता है यदि एद्वारा विभाजित बी. तब आर2जोड़े से मिलकर बनता है: .

द्विआधारी संबंध, उदाहरण 2 से, आर 1और आर2चित्र में ग्राफ़िक रूप से दिखाया गया है। 6 और चित्र 7.

चावल। 6 चित्र. 7

तीरों का उपयोग करके एक द्विआधारी संबंध को चित्रित करने के लिए, सेट के तत्वों को बाईं ओर बिंदुओं के रूप में दिखाया गया है ए, दाईं ओर - सेट बी. हर जोड़ी के लिए (ए,बी)द्विआधारी संबंध में निहित है आर, से एक तीर निकाला जाता है एको बी, . द्विआधारी संबंध का चित्रमय प्रतिनिधित्व आर 1उदाहरण 6 में दिखाया गया चित्र 8 में दिखाया गया है।

चित्र.8

परिमित समुच्चयों पर द्विआधारी संबंध आव्यूहों द्वारा दिए जा सकते हैं। मान लीजिए हमें एक द्विआधारी संबंध दिया गया है आरसेट के बीच एऔर बी. , .

मैट्रिक्स की पंक्तियों को सेट के तत्वों द्वारा क्रमांकित किया जाता है ए, और कॉलम सेट के तत्व हैं बी. चौराहे पर स्थित मैट्रिक्स सेल मैं- ओह लाइन और जे-वें कॉलम को आमतौर पर C ij द्वारा दर्शाया जाता है, और इसे निम्नानुसार भरा जाता है:

परिणामी मैट्रिक्स होगा।

उदाहरण 6एक सेट दिया जाए. एक सेट पर, एक सूची और एक मैट्रिक्स द्वारा संबंध को परिभाषित करें आर- "सख्ती से कम होना।"

नज़रिया आरकैसे सेट में तत्वों के सभी जोड़े शामिल हैं ( ए, बी)से एमऐसा है कि ।

उपरोक्त नियमों के अनुसार निर्मित संबंध मैट्रिक्स का निम्नलिखित रूप है:

द्विआधारी संबंधों के गुण:

1. द्विआधारी संबंध आरसेट पर बुलाया जाता है चिंतनशीलयदि किसी तत्व के लिए एसे एमजोड़ा (ए, ए)अंतर्गत आता है आर, अर्थात। किसी के लिए जगह है एसे एम:

रिश्ते "एक ही शहर में रहते हैं", "एक ही विश्वविद्यालय में पढ़ते हैं", "अब नहीं रहेंगे" प्रतिवर्ती हैं.

2. द्विआधारी संबंध कहलाता है विरोधी प्रतिबिम्ब, यदि इसमें किसी के लिए रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं है ए:

उदाहरण के लिए, "अधिक होना", "युवा होना" है विरोधी प्रतिबिम्ब संबंध.

3. द्विआधारी संबंध आरबुलाया सममित, यदि किसी तत्व के लिए एऔर बीसे एमकिस जोड़ी से (ए,बी)अंतर्गत आता है आर, , यह इस प्रकार है कि जोड़ी (बी ० ए)अंतर्गत आता है आर, अर्थात।

सममितसमानांतर रेखाएँ, क्योंकि तो अगर // । सममित संबंधकिसी भी सेट पर "बराबर रहें", या "एन पर सहअभाज्य रहें"।

संबंध R सममित है यदि और केवल यदि R=R -1

4. यदि गैर-मिलान वाले तत्वों के लिए संबंध सत्य है, लेकिन गलत है, तो संबंध antisymmetric. इसे अलग ढंग से कहा जा सकता है:

रिश्ते असममित हैं"अधिक होना", "एन से भाजक होना", "युवा होना"।

5. द्विआधारी संबंध आरबुलाया सकर्मक, यदि उस जोड़ी से किन्हीं तीन तत्वों के लिए (ए,बी)और (बी, सी)संबंधित होना आर, यह इस प्रकार है कि जोड़ी (ए, सी) से संबंधित है आर:

रिश्ते परिवर्तनशील होते हैं: "अधिक होना", "समानांतर होना", "समान होना", आदि।

6. द्विआधारी संबंध आर प्रतिसंक्रमणीययदि उसमें परिवर्तनशीलता का गुण नहीं है।

उदाहरण के लिए, समतल ( , , ) की रेखाओं के समुच्चय पर "लंबवत होना", लेकिन यह सत्य नहीं है।

क्योंकि चूँकि एक द्विआधारी संबंध को न केवल जोड़े की प्रत्यक्ष गणना द्वारा, बल्कि एक मैट्रिक्स द्वारा भी निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए यह पता लगाना उचित है कि संबंध मैट्रिक्स की विशेषता क्या है आर, यदि यह है: 1) रिफ्लेक्सिव, 2) एंटीरिफ्लेक्सिव, 3) सममित, 4) एंटीसिमेट्रिक, 5) सकर्मक।

होने देना आरपर सेट करें, .R या तो दोनों तरफ चलता है या बिल्कुल नहीं चलता है। इस प्रकार, यदि मैट्रिक्स में चौराहे पर एक इकाई है मैं- ओह लाइन और जे- वें कॉलम, यानी सी आईजे=1, तो यह भी चौराहे पर होना चाहिए जे- ओह लाइन और मैं- वें कॉलम, यानी सी जी=1, और इसके विपरीत, यदि सी जी=1, फिर सी आईजे=1. इस प्रकार, सममित अनुपात मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है।

4. आरएंटीसिमेट्रिक यदि और का तात्पर्य है:। इसका मतलब है कि संबंधित मैट्रिक्स में, किसी के लिए मैं, जेपूरा नहीं किया गया सी आईजे =सी जी=1. इस प्रकार, एंटीसिमेट्रिक अनुपात मैट्रिक्स में ऐसी कोई इकाइयाँ नहीं हैं जो मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित हों.

5. एक गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध R कहलाता है सकर्मकअगर

मैट्रिक्स के किसी भी तत्व के लिए उपरोक्त शर्त पूरी होनी चाहिए। और इसके विपरीत, यदि मैट्रिक्स में आरकम से कम एक तत्व है सी आईजे=1 जिसके लिए यह शर्त पूरी नहीं होती है आरसकर्मक नहीं.

द्विआधारी रिश्ते.

माना A और B मनमाना समुच्चय हैं। आइए प्रत्येक सेट से एक तत्व लें, ए से ए, बी से बी और उन्हें इस तरह लिखें: (पहले पहले सेट का एक तत्व, फिर दूसरे सेट का एक तत्व - यानी, तत्वों को लेने का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण है)। ऐसी वस्तु को बुलाया जाएगा क्रमित युग्म. बराबरहम केवल उन्हीं जोड़ियों पर विचार करेंगे जिनमें समान संख्या वाले तत्व समान हैं। = , यदि a = c और b = d. जाहिर है, यदि a ≠ b, तो ≠ .

कार्तीय गुणनमनमाना सेट ए और बी (संकेत: एबी) एक सेट है जिसमें सभी संभावित क्रमित जोड़े शामिल हैं, जिनमें से पहला तत्व ए से संबंधित है, और दूसरा बी से संबंधित है। परिभाषा के अनुसार: एबी = ( | एए और बीबी)। जाहिर है, अगर A≠B, तो AB≠BA. किसी समुच्चय A का स्वयं के साथ कार्तीय गुणनफल n गुना कहलाता है कार्टेशियन डिग्रीए (निरूपित: ए एन)।

उदाहरण 5. मान लीजिए A = (x, y) और B = (1, 2, 3)।

एबी=( , , , , , }.

बीए=(<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

एए = ए 2 = ( , , , }.

बीबी = बी 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

द्विआधारी संबंधसमुच्चय M पर समुच्चय M के तत्वों के कुछ क्रमित युग्मों का समुच्चय है। यदि r एक द्विआधारी संबंध और एक युग्म है इस संबंध से संबंधित, हम लिखते हैं: आर या एक्स आर वाई. जाहिर है, आर Н एम 2।

उदाहरण 6. सेट (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) समुच्चय (1, 2, 3, 4, 5) पर एक द्विआधारी संबंध है।

उदाहरण 7. पूर्णांकों के समुच्चय पर संबंध ³ एक द्विआधारी संबंध है। यह प्रपत्र के क्रमित युग्मों का एक अनंत सेट है , जहां x ³ y, x और y पूर्णांक हैं। इस संबंध में, उदाहरण के लिए, जोड़े शामिल हैं<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>और जोड़े से संबंधित नहीं हैं<5, 7>, <-3, 2>.

उदाहरण 8. समुच्चय A पर समानता का संबंध एक द्विआधारी संबंध है: I A = ( | x О ए). I A को कहा जाता है विकर्णसेट ए.

चूँकि द्विआधारी संबंध समुच्चय हैं, इसलिए मिलन, प्रतिच्छेदन, जोड़ और अंतर की संक्रियाएँ उन पर लागू होती हैं।

परिभाषा का दायराद्विआधारी संबंध r समुच्चय D(r) = ( x | y ऐसा है कि xry ) है। मूल्य क्षेत्रद्विआधारी संबंध r समुच्चय R(r) = ( y | ऐसा x है कि xry ) है।

नज़रिया, उलटनाद्विआधारी संबंध r Н M 2 को द्विआधारी संबंध r -1 = ( | ओ आर). जाहिर है, D(r -1) = R(r), R(r -1) = D(r), r - 1 Í M 2।

संघटनसमुच्चय M पर परिभाषित द्विआधारी संबंध r 1 और r 2 को द्विआधारी संबंध r 2 या r 1 = कहा जाता है | वहाँ y ऐसे मौजूद है ओ आर 1 और Н आर 2 ). जाहिर है, आर 2 या आर 1 Í एम 2।

उदाहरण 9. मान लीजिए कि समुच्चय M = (a, b, c, d), r = ( पर एक द्विआधारी संबंध r परिभाषित किया गया है , , , ). तब D(r) = (a, c), R(r) = (b, c, d), r -1 = ( , , , ), आर या आर = ( , , , ), आर -1 या आर = ( , , , ), आर ओ आर -1 = ( , , , , , , }.

माना समुच्चय M पर r एक द्विआधारी संबंध है। संबंध को r कहा जाता है चिंतनशील, यदि x r x किसी x О M के लिए। संबंध r कहा जाता है सममित, यदि प्रत्येक जोड़ी के साथ इसमें एक जोड़ा भी शामिल है . अनुपात r कहलाता है सकर्मक, यदि इस तथ्य से कि x r y और y r z यह इस प्रकार है कि x r z। अनुपात r कहलाता है antisymmetric, यदि इसमें एक साथ जोड़े शामिल नहीं हैं और समुच्चय M के विभिन्न तत्व x ¹ y।

आइए हम इन संपत्तियों की पूर्ति के लिए मानदंड बताएं।

समुच्चय M पर एक द्विआधारी संबंध r प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि I M Н r।

एक द्विआधारी संबंध r सममित है यदि और केवल यदि r = r -1।

समुच्चय M पर एक द्विआधारी संबंध r एंटीसिमेट्रिक है यदि और केवल यदि r З r -1 = I M।

एक द्विआधारी संबंध r सकर्मक है यदि और केवल यदि r o r н r।

उदाहरण 10. उदाहरण 6 से संबंध प्रतिसममित है, लेकिन यह सममित, प्रतिवर्ती और सकर्मक नहीं है। उदाहरण 7 में संबंध रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है, लेकिन सममित नहीं है। संबंध I A में सभी चार विचारित गुण हैं। संबंध r -1 o r और r o r -1 सममित, सकर्मक हैं, लेकिन प्रतिसममित और प्रतिवर्ती नहीं हैं।

नज़रिया समानकसमुच्चय M पर एक द्विआधारी संबंध कहा जाता है जो M पर सकर्मक, सममित और प्रतिवर्ती होता है।

नज़रिया आंशिक आदेशएक समुच्चय पर M को सकर्मक, प्रतिसममिति और M पर प्रतिवर्ती संबंध r कहा जाता है।

उदाहरण 11 उदाहरण 7 से संबंध आंशिक क्रम संबंध है। संबंध I A एक तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम है। रेखाओं के समुच्चय पर समांतरता का संबंध एक तुल्यता संबंध है।

एक संबंध की अवधारणा, एक सेट की अवधारणा के साथ, पूरे गणित में "प्रवेश" करती है। सहज रूप से, एक रिश्ते को वस्तुओं के कनेक्शन के रूप में समझा जाता है। हमारा कार्य ऊपर दिए गए सेट सिद्धांत के निर्माणों का उपयोग करके गणितीय भाषा में यह निर्धारित करना है कि गणित में "संबंध" शब्द का क्या अर्थ है।

एक सेट पर द्विआधारी संबंध

एक सेट हो जाए एक।तत्वों का संबंध मेंहदीसेट एएक जोड़ी (du>) द्वारा प्रतिरूपित। यदि तत्व एक्ससाथ जुड़े हाँ,इसलिए, हमारे पास कुछ सेट के तत्व के रूप में एक जोड़ी (n:, y) है; यदि डी; से संबद्ध नहीं है पर, इसलिए जोड़ी (n: ^) एक सेट का ऑब्जेक्ट नहीं है। तो हमारे पास निम्नलिखित परिभाषा है।

सेट ए पर द्विआधारी संबंधसे तत्वों के जोड़े का एक मनमाना सेट है एक।

दूसरे शब्दों में, सेट पर द्विआधारी संबंध ए- प्रत्यक्ष उत्पाद का उपसमुच्चय अहा=ए 2 .विशेष रूप से, वही सेट ए 2सभी जोड़ियों का एक द्विआधारी संबंध है।

एक द्विआधारी (या दो-स्थान) संबंध के अनुरूप, कोई विचार कर सकता है n-स्थानीय संबंधसेट पर प्रत्यक्ष उत्पाद के सबसेट के रूप में ए"।हम मुख्य रूप से द्विआधारी संबंधों पर विचार करेंगे, लेकिन संक्षिप्तता के लिए, हम बस इतना कहेंगे: "एक सेट पर एक संबंध ए"।

एक मनमाना द्विआधारी संबंध को ग्रीक अक्षर p से निरूपित करें।

मैं उड़ु )ई पी, तो हम कहते हैं कि एल" संबंध पी के साथ है हाँ,और लिखा

यदि (dy)? P> तो हमारे पास संबंधित कथन का निषेधन है। इस मामले में, संकेतन ~|(xpy) (या xpy) के साथ, वे संबंध चिह्न को काटते हुए dr लिखते हैं।

उदाहरण 8.1.1. सेट पर विचार करें ए= (1,2,3,4,5). बहुत सारे जोड़े

पर निर्धारित करता है एअनुपात "से कम", चिन्ह द्वारा दर्शाया गया है<.>

11 उसी सेट पर, जोड़ों के दूसरे सेट पर विचार किया जा सकता है

यह समानता के संबंध को परिभाषित करता है।

उदाहरण 8.1.2. बुनियादी संख्यात्मक सेटों के सेट (एन, जेड, क्यू, आई, आर) और जोड़े के सेट पर विचार करें

धारा 2.2 में हमारे द्वारा परिभाषित संबंध सेटों के सख्त समावेशन के संबंध के रूप में है। ध्यान दें, उदाहरण के लिए, जोड़ी (Q. I) Qczl के बाद से निर्दिष्ट सेट में नहीं है; इसके अलावा, ये सेट एक दूसरे को नहीं काटते हैं।

उदाहरण 8.1.3. शब्दों का एक सेट दिया गया है एल = (वर्तमान, बिल्ली, झटका, हिस्सेदारी, वार्निश)। इस संबंध पर विचार करें:

पी = ((करंट, शॉक), (शॉक, करंट), (शॉक, गिनती), (गिनती, शॉक),

(कर्नल, वार्निश), (लाह, कोल), (बिल्ली, कोल), (कर्नल, बिल्ली))।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: समुच्चय के शब्द एसंबंध p में हैं यदि और केवल तभी जब उनमें बिल्कुल दो समान अक्षर हों।

ध्यान दें कि जोड़ियों का कोई भी सेट एक रिश्ता है, भले ही उस रिश्ते के लिए कोई अच्छा मौखिक विवरण हो या नहीं।

चूँकि संबंध एक सेट है, इसे एक विशिष्ट गुण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, तो नेटवर्क एक विधेय है आर(xy):पी = ((.*,>>) ईएल 2 आर(xy)).संकेतन का भी उपयोग किया जाता है:

वे पढ़ते हैं: “जी के संबंध में है परयदि और केवल यदि सत्य है आर(हु)"।

उदाहरण 8.1.4.हम सेट पर परिभाषित करते हैं /! = (1,2,3,4,5) अनुपात:

यहाँ आर(xy)= (एल+2=वाई). आइए इस संबंध को जोड़ियों की गणना द्वारा परिभाषित करें:

उदाहरण 8.1.5.सेट पर सेट करें जेड(या एक सेट पर एन)वाक्य की सहायता से संबंध: "एक पूर्णांक /? ऐसा है एक्स=एन वाई.प्रतीकात्मक रूप से, हम लिख सकते हैं:

हमारे पास विभाज्यता संबंध पहले से ही परिभाषित है, जिसे चिह्न द्वारा दर्शाया गया है:। इस संबंध में (6.2), (6.3), (4.4), (111, -37) और अन्य जैसे जोड़े शामिल हैं। पिछले उदाहरणों के विपरीत, जोड़ियों का यह सेट अनंत है, और सभी जोड़ियों की गणना करना संभव नहीं होगा।

आइए सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करें जो एक सेट पर द्विआधारी संबंधों में हो सकते हैं।

सेट पर संबंध पी एबुलाया चिंतनशीलयदि कोई तत्व है एक्ससे एस्वयं के साथ संबंध p में है, अर्थात सभी q के लिए; से एएलआरटी चल रहा है:

उदाहरण 8.1.6.सेट पर विभाज्यता संबंध पर विचार करें जेडएक मनमाना पूर्णांक लें एक्स।क्योंकि x=x 9वह एक्स': एक्स.अतः प्रत्येक पूर्णांक स्वयं विभाज्य है: V.veZ (एल:एल).इसलिए, विभाज्यता संबंध प्रतिवर्ती है।

चूँकि कोई भी समुच्चय स्वयं का एक उपसमुच्चय होता है, समुच्चय समावेशन संबंध प्रतिवर्ती (समुच्चय के किसी भी संग्रह पर) होता है।

सेट पर संबंध पी एबुलाया प्रतिचिंतनशीलयदि सेट का कोई तत्व नहीं है एस्वयं के साथ संबंध p में नहीं है:

उदाहरण 8.1.7. आरप्रतिकर्मक है, क्योंकि कोई भी संख्या अपने से छोटी नहीं होती।

आइए हम वाक्य "संबंध पी प्रतिवर्ती है" के निषेधन की रचना करें:

इस प्रकार, संबंध p प्रतिवर्ती नहीं है यदि और केवल यदि कोई तत्व है हे,जो स्वयं p के संबंध में नहीं है। जो रिश्ता रिफ्लेक्सिव नहीं है, उसे एंटीरिफ्लेक्सिव होने की जरूरत नहीं है।

उदाहरण 8.1.8.सेट पर रिश्ते पर विचार करें आर,वाक्य "संख्या" द्वारा दिया गया है एक्सविपरीत संख्या पर"।संख्या एक्सविपरीत संख्या कहा जाता है हाँ,यदि राशि x+y 0 के बराबर है.

यह रिश्ता प्रतिवर्ती नहीं है. प्रतिउदाहरण: x=1. चूँकि 1 + 1*0, 1, 1 के विपरीत नहीं है।

यह सम्बन्ध प्रतिकर्मात्मक नहीं है। प्रतिउदाहरण: ,v=0. चूँकि 0+0=0, तो 0, 0 का विपरीत है।

सेट पर संबंध पी एबुलाया सममितअगर किससे एक्सआर के संबंध में है हाँ,उसका अनुसरण करता है परआर के संबंध में है

उदाहरण 8.1.9.पहचान से x+y=y+.xनिम्नलिखित कथन इस प्रकार है: किसी के लिए वास्तविक संख्या एक्सऔर परअगर एक्स v के विपरीत, फिर परविलोम एक्स।अत: यह संबंध सममित है। इसे अक्सर सरलता से कहा जाता है: "संख्याएँ एक्सऔर परविपरीत हैं।"

अनुपात "संख्या एक्ससंख्या से कम पर"मंच पर आरसममित नहीं है: 3, 4 से कम है, लेकिन 4, 3 से कम नहीं है।

सेट पर संबंध पी एबुलाया antisymmetric, यदि कोई भिन्न तत्व नहीं हैं A से x और y,ऐसा है कि xru,पूरा नहीं किया गया

उर:

उदाहरण 8.1.10.सेट पर रिश्ता "कम" आरअसिमेट्रिक

एंटीसिमेट्रिक संबंध की परिभाषा अन्य तरीकों से तैयार की जा सकती है। आइए हम संकेतन का परिचय दें:

सत्य तालिका का उपयोग करके, हम उस सूत्र 1 को सिद्ध कर सकते हैं आर एल एम- सूत्र के समतुल्य है एमएल के -> पी,जो, बदले में, विरोधाभास के नियम के अनुसार 1 के बराबर है आर->~|(एल/एल को)।इसके आधार पर, हम कह सकते हैं कि संबंध p एंटीसिमेट्रिक है यदि और केवल यदि समकक्ष शर्तों में से एक संतुष्ट हो:

ए) क्योंकि xruऔर उह,चाहिए एक्स=वाई:

बी) कोई भी अलग-अलग तत्व एक साथ एक दूसरे के साथ संबंध पी में नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण 8.1.11.सेटों के एक मनमाने परिवार पर समावेशन संबंध पर विचार करें। Lsul के बाद से वाई^एक्स=>एक्स=वाई,तब समावेशन ई एक एंटीसिमेट्रिक संबंध है।

उदाहरण 8.1.12.एक सेट पर विभाज्यता संबंध जेडन तो सममित है और न ही प्रतिसममित। चूंकि 4:2 लेकिन 2?4, अनुपात सममित नहीं है। चूंकि 2:(-2) और (-2):2 लेकिन (-2)^2, संबंध एंटीसिमेट्रिक नहीं है।

हालाँकि, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N पर हमारा एक एंटीसिमेट्रिक संबंध है: Vjt^eN (x:y lu:x -> x=y).विभाज्यता की परिभाषा का उपयोग करके इस कथन की जाँच करें।

सेट पर संबंध पी एबुलाया सकर्मकअगर किससे एक्सआर के संबंध में है हाँ,ए परपी के साथ जेड के संबंध में है, इसका मतलब यह है कि वी, पी के साथ के संबंध में है z:

उदाहरण 8.1.13.विभाज्यता संबंध सकर्मक है (समुच्चय Z और समुच्चय N दोनों पर): x:y l y: z => x:z.चलिए दिखाते हैं. होने देना एक्स:वाईऔर y:z.तब x=nyऔर y=kzकुछ पूर्णांकों के लिए पीऔर को।तब एक्स = एन(केजेड) = (एनके)जेड = एमजेड,कहाँ टीएक पूर्णांक है. इसीलिए xz.

सेट समावेशन संबंध भी सकर्मक है: Xcyएल YcZ => XezZ।इसे साबित करो।

संबंध "संख्याएँ एक्सऔर परविपरीत" सकर्मक नहीं है। प्रतिउदाहरण: x=2, y=-2, 2=2. फिर संख्याएँ 2 और (-2) विपरीत हैं, और (-2) और 2 भी विपरीत हैं। लेकिन संख्याएँ एक्स=2और z=2 ns विपरीत हैं।

उदाहरण 8.1.14. पिछले पैराग्राफ से रिश्तों के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 8.1.3 से संबंध प्रति-प्रतिवर्ती और सममित है। उदाहरण 8.1.4 से संबंध एंटीरिफ्लेक्सिव और एंटीसिमेट्रिक है। इनमें से कोई भी संबंध सकर्मक नहीं है. उचित प्रतिउदाहरणों पर विचार करके इसे सिद्ध करें।

कुछ संबंध जिनमें एक साथ कई गुण होते हैं, उन्हें सामान्य नाम दिया जाता है। ऊपर दिए गए उदाहरणों से, समावेशन संबंध सी और सेट एन पर विभाज्यता संबंध में एक साथ रिफ्लेक्सिविटी, एंटीसिम्मेग्रिसिटी और ट्रांजिटिविटी के गुण होते हैं। इसके अलावा, ये तीन गुण संबंध के पास होते हैं "एक्सइससे कम या इसके बराबर पर", सेट आर (या इसके किसी उपसमुच्चय पर) पर परिभाषित:

रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिव संबंध को कहा जाता है आदेश का संबंध.

गुच्छा ए, जिस पर क्रम संबंध पी दिया गया है, कहलाता है आदेशित सेट. लिखना (ए,आर)।

वर्तमान में, क्रमित समुच्चयों का सिद्धांत गणित की एक बड़ी शाखा है, जिसके लिए पूरी किताबें समर्पित हैं। हम "ऑर्डर किए गए सेट" की अवधारणा की केवल कई विशेषताओं पर ध्यान देते हैं।

सहज रूप से, "आदेशित सेट" शब्द को अक्सर एक संकीर्ण अर्थ में समझा जाता है। एक क्रमबद्ध एल-कू पर विचार करें, जो जोड़ीवार अलग-अलग तत्वों से बना है। उदाहरण के लिए, पांच अक्षर (III, K, O, L, A) स्कूल शब्द को परिभाषित करते हैं। इस मामले में, शब्द "तत्वों को एक निश्चित क्रम में लिखा जाता है" को इस अर्थ में समझा जाता है कि हमने उन्हें प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5 के साथ क्रमांकित किया और उन्हें संख्याओं के आरोही क्रम में व्यवस्थित किया। आइए इस उदाहरण का सामान्यीकरण करें।

एक "-तत्व सेट करें एक।किसी तरह इसके साथ तत्वों को क्रमांकित करना ए, ए 2 > ए „,हम वास्तव में ऑर्डर संबंध को इस प्रकार परिभाषित करके एक ऑर्डर किया गया सेट प्राप्त करते हैं:

अनुपात को इस प्रकार समझा जाता है: कौन सा तत्व है एक्सकिसी अन्य तत्व से संबद्ध हाँ,मतलब कि एक्सबायीं ओर टुपल में लिखा है वाई

उदाहरण 8.1.15.सेट /4=(a,b.c,d) दिया गया है। इसके विभिन्न तत्वों (बी, सी, ए, डी) का क्रमित चतुर्भुज निम्नलिखित क्रम संबंध देगा:

((बी,बी), (बी,सी), (बी,ए), (बी,डी), (सी,सी), (सी,ए), (सी,डी), (ए,ए), ( ए, डी), (डी, डी))।

ध्यान दें कि ऑर्डर में तथाकथित रैखिकता गुण की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 8.1.16.सेट पर विचार करें ए =(2,4,6,8) विभाज्यता अनुपात:. इस संबंध को जोड़ियों के समूह द्वारा निर्दिष्ट करें। के बाद से एकेवल प्राकृतिक संख्याएँ झूठ बोलें, फिर: क्रम संबंध। हमारे पास एक ऑर्डर किया गया सेट A है, :)।

ऐसे क्रम को क्रमबद्ध चार लगातार तत्वों के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। आप बिंदुओं और तीरों का उपयोग करके रिश्ते का एक ग्राफिक चित्रण दे सकते हैं: एक बिंदु से एक्सबिल्कुल परतीर आगे बढ़ता है यदि और केवल यदि एक्स:वाई.

संख्या 6 और 4 पर विचार करें। उनमें से कोई भी दूसरे से विभाज्य नहीं है। उनका कहना है कि ये अतुलनीय तत्व हैं.

चलो सेट पर एक्रम p का अनुपात दिया गया है। तत्व* और परबुलाया तुलनीय, यदि दोनों में से कम से कम एक संबंध संतुष्ट हो xruया उरख.

सेट पर पी का क्रम एबुलाया रेखीययदि सेट के कोई दो तत्व हैं एतुलनीय. वह समुच्चय जिस पर एक रेखीय क्रम परिभाषित किया जाता है, कहलाता है रैखिक रूप से क्रमबद्ध(या ज़ंजीर)।

उदाहरण 8.1.17.संबंध R एक रैखिक क्रम है, क्योंकि Vx^yeR (x इसलिए (आर,

आदेशित सेट.

सामान्य स्थिति में प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता का अनुपात एक रैखिक क्रम नहीं है। उदाहरण 8.1.16 में एक प्रतिउदाहरण दिया गया है।"

ध्यान दें कि किसी परिमित समुच्चय पर कोई भी रैखिक क्रम उसके तत्वों की गणना द्वारा दिया जाता है। इस बात पर जोर देने के लिए कि ऑर्डर रैखिक नहीं हो सकता है, एक ऑर्डर किए गए सेट को आम तौर पर कभी-कभी आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट कहा जाता है।

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