गणितीय छल्ले. अँगूठी। परिभाषा। उदाहरण। अंगूठियों के सबसे सरल गुण। छल्लों की समरूपता और समरूपता। बीजगणितीय रूप में संख्याएँ

परिभाषा 4.1.1. अँगूठी (क, +, ) एक गैर-रिक्त सेट के साथ एक बीजगणितीय प्रणाली है कऔर उस पर दो द्विआधारी बीजीय संक्रियाएँ, जिन्हें हम कहेंगे जोड़नाऔर गुणा. वलय एक एबेलियन योगात्मक समूह है, और गुणन और जोड़ वितरण कानूनों से संबंधित हैं: ( ए + बी)  सी = ए  सी + बी  सीऔर साथ  (ए + बी) = सी  ए + सी  बीमनमानी के लिए ए, बी, सी  क.

उदाहरण 4.1.1. हम अंगूठियों का उदाहरण देते हैं.

1. (जेड, +, ), (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) जोड़ और गुणा के सामान्य संचालन के साथ क्रमशः पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याओं के छल्ले हैं। इन छल्लों को कहा जाता है न्यूमेरिकल.

2. (जेड/ एनजेड, +, ) अवशेष वर्गों मॉड्यूलो की अंगूठी है एन  एनजोड़ और गुणा की संक्रियाओं के साथ।

3. गुच्छा एम एन (क) निश्चित क्रम के सभी वर्ग आव्यूहों का एन  एनरिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) मैट्रिक्स जोड़ और गुणा के संचालन के साथ। विशेष रूप से, कबराबर हो सकता है जेड, क्यू, आर, सीया जेड/एनजेडपर एन  एन.

4. एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित सभी वास्तविक कार्यों का सेट ( ए; बी) वास्तविक संख्या अक्ष, कार्यों के जोड़ और गुणा के सामान्य संचालन के साथ।

5. बहुपदों का समुच्चय (बहुपद) क[एक्स] रिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) एक चर से एक्ससाथ प्राकृतिक संचालनबहुपदों का जोड़ और गुणन। विशेष रूप से, बहुपदों के वलय जेड[एक्स], क्यू[एक्स], आर[एक्स], सी[एक्स], जेड/एनजेड[एक्स] पर एन  एन.

6. सदिशों का वलय ( वी 3 (आर), +, ) जोड़ और वेक्टर गुणन के साथ।

7. रिंग ((0), +, ) जोड़ और गुणन संचालन के साथ: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

परिभाषा 4.1.2. अंतर करना सीमित और अनंतछल्ले (सेट के तत्वों की संख्या के अनुसार क), लेकिन मुख्य वर्गीकरण गुणन के गुणों पर आधारित है। अंतर करना जोड़नेवालाजब गुणन संक्रिया साहचर्य होती है तो बजती है (उदाहरण 4.1.1 के आइटम 1-5, 7) और गैर साहचर्यछल्ले (उदाहरण 4.1.1 का आइटम 6: यहां , )। साहचर्य वलय को विभाजित किया गया है इकाई बजती है(गुणन के संबंध में एक तटस्थ तत्व है) और बिना इकाई के, विनिमेय(गुणन की संक्रिया क्रमविनिमेय है) और अविनिमेय.

प्रमेय4.1.1. होने देना ( क, +, ) इकाई के साथ एक साहचर्य वलय है। फिर सेट क* वलय तत्वों के गुणन के अंतर्गत प्रतिवर्ती कएक गुणक समूह है.

आइए समूह परिभाषा 3.2.1 की पूर्ति की जाँच करें। होने देना ए, बी  क*. आइए वो दिखाते हैं ए  बी  क * .  (ए  बी) –1 = बी –1  ए –1  क. वास्तव में,

(ए  बी)  (बी –1  ए –1) = ए  (बी  बी –1)  ए –1 = ए  1  ए –1 = 1,

(बी –1  ए –1)  (ए  बी) = बी –1  (ए –1  ए)  बी = बी –1  1  बी = 1,

कहाँ ए –1 , बी –1  कके व्युत्क्रम तत्व हैं एऔर बीक्रमश।

1) गुणन में क* साहचर्य, चूँकि कएक साहचर्य वलय है.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  क* , 1 गुणन के संबंध में एक तटस्थ तत्व है क * .

3)  के लिए ए  क * , ए –1  क* , क्योंकि ( ए –1)  ए= ए  (ए –1) = 1
(ए –1) –1 = ए.

परिभाषा 4.1.3. गुच्छा क* वलय के तत्वों के गुणन के संबंध में व्युत्क्रमणीय ( क, +, ) कहलाते हैं वलय का गुणक समूह.

उदाहरण 4.1.2. आइए हम विभिन्न वलयों के गुणक समूहों के उदाहरण दें।

1. जेड * = {1, –1}.

2. एम एन (क्यू) * = जीएल एन (क्यू), एम एन (आर) * = जीएल एन (आर), एम एन (सी) * = जीएल एन (सी).

3. जेड/एनजेड* प्रतिवर्ती अवशेष वर्गों का समूह है, जेड/एनजेड * = { | (क, एन) = 1, 0  क < एन), पर एन > 1 | जेड/एनजेड * | =  (एन), कहाँ  यूलर फ़ंक्शन है.

4. (0) * = (0), चूँकि इस मामले में 1 = 0. 

परिभाषा 4.1.4. यदि साहचर्य वलय में ( क, +, ) इकाई समूह के साथ क * = क\(0), जहां 0 योग के संबंध में एक तटस्थ तत्व है, तो ऐसी अंगूठी कहलाती है शरीरया बीजगणित के साथविभाजन. क्रमविनिमेय निकाय कहा जाता है मैदान.

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि शरीर में क*   और 1  क* , तो 1  0, इसलिए न्यूनतम निकाय, जो एक क्षेत्र है, में दो तत्व होते हैं: 0 और 1।

उदाहरण 4.1.3.

1. (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) क्रमशः तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याओं के संख्यात्मक क्षेत्र हैं।

2. (जेड/पीजेड, +, ) से अंतिम क्षेत्र है पीतत्व, यदि पी- अभाज्य संख्या। उदाहरण के लिए, ( जेड/2जेड, +, ) दो तत्वों का न्यूनतम क्षेत्र है।

3. एक गैर-विनिमेय निकाय चतुर्भुजों का शरीर है - चतुर्भुजों का एक संग्रह, अर्थात रूप की अभिव्यक्तियाँ एच= ए + द्वि + सी.जे + डीके, कहाँ ए, बी, सी, डी  आर, मैं 2 = = जे 2 = क 2 = –1, मैं  जे= क= – जे  मैं, जे  क= मैं= – क  जे, मैं  क= – जे= – क  मैं, जोड़ और गुणा संचालन के साथ। उपरोक्त सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, चतुर्भुजों को पद दर पद जोड़ा और गुणा किया जाता है। सभी के लिए एच 0 व्युत्क्रम चतुर्भुज का रूप है:
.

शून्य भाजक वाले छल्ले और शून्य भाजक वाले छल्ले होते हैं।

परिभाषा 4.1.5. यदि रिंग में गैर-शून्य तत्व हैं एऔर बीऐसा है कि ए  बी= 0, तो उन्हें बुलाया जाता है शून्य भाजक, और अंगूठी ही शून्य भाजक वलय. अन्यथा, अंगूठी कहा जाता है शून्य विभाजक के बिना वलय.

उदाहरण 4.1.4.

1. रिंग्स ( जेड, +, ), (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) शून्य विभाजक के बिना छल्ले हैं।

2. रिंग में ( वी 3 (आर), +, ) प्रत्येक गैर-शून्य तत्व एक शून्य विभाजक है, क्योंकि
सभी के लिए
वी 3 (आर).

3. मैट्रिसेस के रिंग में एम 3 (जेड) शून्य भाजक के उदाहरण आव्यूह हैं
और
, क्योंकि ए  बी = हे(शून्य मैट्रिक्स)।

4. रिंग में ( जेड/ एनजेड, +, ) समग्र के साथ एन= क  एम, जहां 1< क, एम < एन, अवशेष वर्ग और शून्य विभाजक हैं, चूँकि। 

नीचे हम रिंगों और क्षेत्रों के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं।

समूह की परिभाषा एवं उदाहरण.

ODA1मान लीजिए G मनमानी प्रकृति के तत्वों का एक गैर-रिक्त सेट है। जी को बुलाया जाता है समूह

1) सेट G पर बाओ° दिया गया है।

2) बाओ° साहचर्य है।

3) एक तटस्थ तत्व nÎG है।

4) G के किसी भी तत्व के लिए, उसके सममित तत्व हमेशा मौजूद रहता है और G से संबंधित भी होता है।

उदाहरण।+ ऑपरेशन के साथ Z-संख्याओं का सेट।

ODA2.समूह को बुलाया गया एबेलियन, यदि यह दिए गए बाओ° के संबंध में क्रमविनिमेय है।

समूह उदाहरण:

1) Z,R,Q "+" (Z+)

समूहों के सबसे सरल गुण

समूह में केवल एक तटस्थ तत्व है

समूह में प्रत्येक तत्व के सममित एक एकल तत्व होता है

मान लीजिए G बाओ° वाला एक समूह है, तो इस प्रकार के समीकरण:

a°x=b और x°a=b (1) हल करने योग्य हैं और इनका एक अनूठा समाधान है।

सबूत. x के लिए समीकरण (1) पर विचार करें। जाहिर है, एक $ के लिए! a"। चूंकि ऑपरेशन ° साहचर्य है, इसलिए यह स्पष्ट है कि x=b°a" एकमात्र समाधान है।

34. प्रतिस्थापन की समता*

परिभाषा 1. प्रतिस्थापन कहा जाता है यहां तक कीयदि यह सम संख्या में स्थानान्तरण के उत्पाद में विघटित होता है, और अन्यथा विषम।

सुझाव 1.प्रतिस्थापन

सम है<=>- एक सम क्रमपरिवर्तन. इसलिए, सम क्रमपरिवर्तन की संख्या

n संख्याओं में से n!\2 के बराबर है।

सुझाव 2. क्रमपरिवर्तन f और f - 1 में समान समता चरित्र है।

> यह जांचना पर्याप्त है कि यदि ट्रांसपोज़िशन का उत्पाद है, तो<

उदाहरण:

उपसमूह. उप-समूह मानदंड.

हार।मान लीजिए कि G bao° वाला एक समूह है और HÌG का एक गैर-रिक्त उपसमूह है, तो H को G का एक उपसमूह कहा जाता है यदि H bao° के संबंध में एक उपसमूह है (अर्थात, ° H पर bao है। और इस ऑपरेशन के साथ H एक समूह है)

प्रमेय (उपसमूह मानदंड)।मान लीजिए G ऑपरेशन°, Æ¹HÎG के अंतर्गत एक समूह है। एच एक उपसमूह है<=>"h 1 ,h 2 нH स्थिति h 1 °h 2 "нH संतुष्ट है (जहाँ h 2 "h 2 का एक सममित तत्व है)।

डॉक्टर. =>:मान लीजिए कि H एक उपसमूह है (हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि h 1 °h 2 "нH)। h 1 ,h 2 нH लें, फिर h 2 "нH और h 1 °h" 2 нH (क्योंकि h" 2 एक सममित तत्व है से ज 2).

<=: (हमें यह सिद्ध करना होगा कि H एक उपसमूह है)।

चूँकि H¹Æ, तो वहाँ कम से कम एक तत्व है। hнH लें, n=h°h"нH, यानी तटस्थ तत्व nNH। h 1 के रूप में हम n लेते हैं, और h 2 के रूप में हम h लेते हैं फिर h"нH Þ "hнH, h का सममित तत्व भी H से संबंधित है।

आइए हम साबित करें कि H से किसी भी तत्व की संरचना H से संबंधित है।

h 1 लें, और h 2 के रूप में हम h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " нH, Þ h 1 °h 2 нH लें।

उदाहरण। G=S n , n>2, α - Х=(1,…,n) से कुछ तत्व। H के रूप में हम एक गैर-रिक्त सेट H= S α n =(fО S n ,f(α)=α) लेते हैं, S α n α से मैपिंग की कार्रवाई के तहत जगह पर रहता है। हम मापदंड की जांच करते हैं. कोई भी h 1 ,h 2 ОH लें। उत्पाद एच 1 . h 2 "нH, अर्थात H एक उपसमूह है, जिसे तत्व α का स्थिर उपसमूह कहा जाता है।

रिंग, फ़ील्ड। उदाहरण।

हार।होने देना कोदो बीजीय संक्रियाओं के साथ गैर-रिक्त सेट: जोड़ और गुणा। कोबुलाया अँगूठीयदि निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) को - जोड़ के संबंध में एक एबेलियन समूह (किसी दिए गए बाओ ° के संबंध में क्रमविनिमेय);

2) गुणन साहचर्य है;

3) गुणन जोड़() के संबंध में वितरणात्मक है।

यदि गुणन क्रमविनिमेय है, तो कोबुलाया क्रमविनिमेय वलय. यदि गुणन के संबंध में कोई तटस्थ तत्व है, तो कोबुलाया यूनिट रिंग.

उदाहरण।

1) पूर्णांकों का समुच्चय Z जोड़ और गुणा की सामान्य संक्रियाओं के संबंध में एक वलय बनाता है। यह वलय क्रमविनिमेय, साहचर्यात्मक और एक इकाई है।

2) परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R फ़ील्ड हैं

संख्याओं के जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाओं के बारे में।

अंगूठियों के सबसे सरल गुण।

1. चूँकि कोजोड़ के संबंध में एबेलियन समूह, फिर आगे कोसमूहों के सबसे सरल गुणों को स्थानांतरित किया जाता है।

2. गुणन अंतर के संबंध में वितरणात्मक है: a(b-c)=ab-ac.

सबूत। क्योंकि ab-ac+ac=ab और a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, फिर a(b-c)=ab-ac.

3. वलय में शून्य विभाजक हो सकते हैं, अर्थात्। ab=0, लेकिन यह a=0 b=0 का पालन नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, आकार 2´2 के मैट्रिक्स की रिंग में, गैर-शून्य तत्व ऐसे होते हैं कि उनका उत्पाद शून्य होगा:, जहां - शून्य तत्व की भूमिका निभाता है।

4. ए 0=0 ए=0.

सबूत। मान लीजिए 0=बी-बी। फिर a(b-b)=ab-ab=0. इसी प्रकार, 0 a=0.

5. a(-b)=(-a) b=-ab.

प्रमाण: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a 0=0.

6. अगर रिंग में हैं कोएक इकाई है और उसमें एक से अधिक तत्व शामिल हैं, तो इकाई शून्य के बराबर नहीं है, जहां गुणन में 1 एक तटस्थ तत्व है; 0 ─ इसके अतिरिक्त तटस्थ तत्व।

7. चलो कोएकता के साथ वलय, फिर वलय के उलटे तत्वों का समुच्चय गुणन के अंतर्गत एक समूह बनाता है, जिसे वलय का गुणक समूह कहा जाता है कऔर निरूपित करें क*.

हार।पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय, जिसमें कम से कम दो तत्व होते हैं, जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय होता है, कहलाता है मैदान.

सबसे सरल फ़ील्ड गुण

1. क्योंकि फ़ील्ड एक रिंग है, फिर रिंग्स के सभी गुण फ़ील्ड में स्थानांतरित हो जाते हैं।

2. क्षेत्र में कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, अर्थात्। यदि ab=0 , तो a=0 या b=0.

सबूत।

यदि a¹0 , तो $ a -1 . a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 पर विचार करें, और यदि a¹0 है, तो b=0, इसी प्रकार यदि b¹0

3. फ़ील्ड में a´x=b, a¹0, b - कोई भी रूप के समीकरण का एक अद्वितीय समाधान x= a -1 b, या x=b/a होता है।

इस समीकरण का हल आंशिक कहलाता है।

उदाहरण। 1)पीÌसी, पी - संख्यात्मक क्षेत्र। 2)पी=(0;1);

गणित की विभिन्न शाखाओं में, साथ ही प्रौद्योगिकी में गणित के अनुप्रयोग में, अक्सर ऐसी स्थिति होती है जहां बीजगणितीय संचालन संख्याओं पर नहीं, बल्कि एक अलग प्रकृति की वस्तुओं पर किया जाता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स जोड़, मैट्रिक्स गुणन, वेक्टर जोड़, बहुपद पर संचालन, रैखिक परिवर्तनों पर संचालन, आदि।

परिभाषा 1. एक वलय गणितीय वस्तुओं का एक समूह है जिसमें दो क्रियाओं को परिभाषित किया गया है - "जोड़" और "गुणा", जो तत्वों के क्रमित जोड़े की तुलना उनके "योग" और "उत्पाद" से करते हैं, जो एक ही सेट के तत्व हैं। ये क्रियाएँ निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करती हैं:

1.ए+बी=बी+ए(जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता)।

2.(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(जोड़ की संबद्धता)।

3. एक शून्य तत्त्व 0 ऐसा है ए+0=ए, किसी के लिए ए.

4. किसी के लिए भी एएक विपरीत तत्व है - एऐसा है कि ए+(−ए)=0.

5. (ए+बी)सी=एसी+बीसी(बाएं वितरण)।

5".सी(ए+बी)=सीए+सीबी(सही वितरण)।

आवश्यकताएँ 2, 3, 4 का अर्थ है कि गणितीय वस्तुओं का सेट एक समूह बनाता है, और आइटम 1 के साथ हम जोड़ के संबंध में एक क्रमविनिमेय (एबेलियन) समूह के साथ काम कर रहे हैं।

जैसा कि परिभाषा से देखा जा सकता है, रिंग की सामान्य परिभाषा में, जोड़ के साथ वितरण को छोड़कर, गुणन पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है। हालाँकि, विभिन्न स्थितियों में, अतिरिक्त आवश्यकताओं वाली अंगूठियों पर विचार करना आवश्यक हो जाता है।

6. (एबी)सी=ए(बीसी)(गुणन की संगति)।

7.अब=बा(गुणन की क्रमविनिमेयता)।

8. पहचान तत्व 1 का अस्तित्व, अर्थात्। ऐसा ए 1=1 ए=ए, किसी भी तत्व के लिए ए.

9. तत्व के किसी भी तत्व के लिए एएक उलटा तत्व है ए−1 ऐसा कि आ −1 =ए −1 ए= 1.

विभिन्न रिंगों में 6, 7, 8, 9 को अलग-अलग और विभिन्न संयोजनों में प्रदर्शित किया जा सकता है।

यदि शर्त 6 पूरी होती है तो एक वलय को साहचर्य कहा जाता है, यदि शर्त 7 संतुष्ट होती है तो क्रमविनिमेय, शर्त 6 और 7 संतुष्ट होने पर क्रमविनिमेय और साहचर्य कहा जाता है। यदि शर्त 8 संतुष्ट होती है तो एक वलय को इकाई वलय कहा जाता है।

रिंग उदाहरण:

1. वर्ग आव्यूहों का समुच्चय।

वास्तव में। अंक 1-5, 5'' की पूर्ति स्पष्ट है। शून्य तत्व शून्य मैट्रिक्स है। इसके अलावा, बिंदु 6 (गुणन की साहचर्यता), बिंदु 8 (इकाई तत्व पहचान मैट्रिक्स है) का प्रदर्शन किया जाता है। अंक 7 और 9 निष्पादित नहीं किया जाता है क्योंकि सामान्य स्थिति में, वर्ग आव्यूहों का गुणन गैर-क्रमविनिमेय होता है, और साथ ही हमेशा वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम भी नहीं होता है।

2. सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय।

3. सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

4. सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय।

5. सभी पूर्णांकों का समुच्चय.

परिभाषा 2. संख्याओं की कोई भी प्रणाली जिसमें उसकी किन्हीं दो संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल शामिल हो, कहलाती है नंबर की अंगूठी.

उदाहरण 2-5 संख्या वलय हैं। संख्यात्मक वलय भी सभी सम संख्याएँ हैं, साथ ही सभी पूर्णांक भी हैं जो किसी प्राकृतिक संख्या n द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य हैं। ध्यान दें कि विषम संख्याओं का समुच्चय एक वलय नहीं है दो विषम संख्याओं का योग एक सम संख्या होती है।

मान लीजिए (K,+, ) एक वलय है। चूँकि (K, +) एक एबेलियन समूह है, समूहों के गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

एसटी-इन 1 . प्रत्येक वलय (K,+, ) में एक अद्वितीय शून्य तत्व 0 होता है, और प्रत्येक a ∈ K के लिए एक अद्वितीय विपरीत तत्व −a होता है।

एसडब्ल्यू-बीओ 2. ∀ ए, बी, सी ∈ के (ए + बी = ए + सी ⇒ बी = सी)।

ST-BO 3. रिंग K में किसी भी a, b ∈ K के लिए एक अद्वितीय अंतर a − b, और a − b = a + (−b) है। इस प्रकार, घटाव की संक्रिया को वलय K में परिभाषित किया गया है, जबकि इसके गुण 1′-8′ हैं।

एसटी-इन 4 . K में गुणन की संक्रिया घटाव की संक्रिया के संबंध में वितरणात्मक है, अर्थात। ∀ ए, बी, सी ∈ के ((ए − बी)सी = एसी − बीसी ∧ सी(ए − बी) = सीए − सीबी).

डॉक्टर. चलो a, b, c ∈ K. ऑपरेशन की वितरणशीलता · K में ऑपरेशन + के संबंध में और रिंग तत्वों के अंतर की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम (a - b)c + bc = ((a) प्राप्त करते हैं - बी) + बी)सी = एसी, जहां से, परिभाषा के अनुसार, अंतर का तात्पर्य है कि (ए - बी)सी = एसी - बीसी।

घटाव की संक्रिया के संबंध में गुणन की संक्रिया का वितरण का सही नियम इसी प्रकार सिद्ध होता है।

एसवी-वी 5. ∀ ए ∈ के ए0 = 0ए = 0.

सबूत। मान लीजिए a ∈ K और b, K से एक मनमाना तत्व हैं। फिर b - b = 0, और इसलिए, पिछली संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, हमें a0 = a(b - b) = ab - ab = 0 प्राप्त होता है।

इसी प्रकार सिद्ध होता है कि 0a = 0.

एसटी-बीओ 6. ∀ ए, बी ∈ के (−ए)बी = ए(−बी) = −(एबी).

सबूत। मान लीजिए a, b ∈ K. तब (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. इसलिए, (−a)b = −(ab).

समानता a(−b) = −(ab) इसी प्रकार सिद्ध होती है।

एसटी-बीओ 7. ∀ ए, बी ∈ के (−ए)(−बी) = एबी।

सबूत। दरअसल, पिछली संपत्ति को दो बार लागू करने पर, हमें (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab प्राप्त होता है।

टिप्पणी। गुण 6 और 7 को वलय में चिन्हों के नियम कहा जाता है।

जोड़ और गुण 6 और 7 के संचालन के संबंध में रिंग K में गुणन के संचालन की वितरणशीलता निम्नलिखित का तात्पर्य है

ST-BO 8. चलो k, l-मनमाना पूर्णांक। फिर ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

सबरिंग

रिंग का एक सबरिंग (K,+, ·) सेट K का एक सबसेट H है जो K में परिभाषित ऑपरेशन + और · के तहत बंद है और इन ऑपरेशन के तहत खुद एक रिंग है।

उपरिंग्स के उदाहरण:

इस प्रकार, Z, रिंग (Q,+, ) का एक सबरिंग है, Q, रिंग (R,+, ) का एक सबरिंग है, Rn×n रिंग (Cn×n,+, ) का एक सबरिंग है, Z[ x] वलय ( R[x],+, ) का एक उप-वलय है, D वलय (C,+, ) का एक उप-वलय है।

किसी भी रिंग (K,+, ·) में, सेट K स्वयं, साथ ही एक-तत्व उपसमुच्चय (0) रिंग (K,+, ·) के उपरिंग हैं। ये वलय (K,+, ·) के तथाकथित तुच्छ उप-वलय हैं।

सबरिंग्स के सबसे सरल गुण।

मान लीजिए H वलय (K,+, ) का एक उप-वलय है, अर्थात, (H,+, ·) स्वयं एक वलय है। इसलिए, एक (H, +)-समूह, अर्थात, H समूह (K, +) का एक उपसमूह है। इसलिए, निम्नलिखित दावे सत्य हैं।

ST-BO 1. रिंग K के सबरिंग H का शून्य तत्व रिंग K के शून्य तत्व के साथ मेल खाता है।

एसटी-इन 2 . रिंग K के उपरिंग H के किसी भी तत्व a के लिए, H में इसका विपरीत तत्व −a के साथ मेल खाता है, अर्थात, K में इसके विपरीत तत्व के साथ।

एसटी-बीओ 3. उपरिंग एच के किसी भी तत्व ए और बी के लिए, एच में उनका अंतर तत्व ए - बी के साथ मेल खाता है, यानी। K में इन तत्वों के अंतर के साथ।

सबरिंग के लक्षण.

प्रमेय 1 (एक उपरिंग का पहला संकेत)।

संचालन + और · के साथ रिंग K का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय H, रिंग K का एक उप-रिंग है यदि और केवल यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए, बी ∈ एच ए + बी ∈ एच, (1)

∀ ए ∈ एच − ए ∈ एच, (2)

∀ ए, बी ∈ एच एबी ∈ एच. (3)

आवश्यकता.मान लीजिए H वलय (K,+, ·) का एक उप-वलय है। तब H समूह (K, +) का एक उपसमूह है। इसलिए, उपसमूह के पहले संकेत से (योगात्मक सूत्रीकरण में), एच शर्तों (1) और (2) को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, H, K में परिभाषित गुणन की संक्रिया के तहत बंद है, अर्थात। एच

शर्त (3) को भी संतुष्ट करता है।

पर्याप्तता.मान लीजिए H ⊂ K, H 6= ∅, और H शर्तें (1) − (3) संतुष्ट करते हैं। उपसमूह के पहले मानदंड से शर्तों (1) और (2) से यह पता चलता है कि एच समूह (के, +) का एक उपसमूह है, यानी। (एच, +)-समूह। इसके अलावा, चूँकि (K, +)-एबेलियन समूह, (H, +) भी एबेलियन है। इसके अलावा, शर्त (3) से यह पता चलता है कि गुणन सेट एच पर एक द्विआधारी ऑपरेशन है। ऑपरेशन की साहचर्यता · एच में और ऑपरेशन + के संबंध में इसकी वितरणशीलता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि ऑपरेशन + और · के में ऐसे गुण हैं.

प्रमेय 2 (उपरिंग के लिए दूसरा मानदंड)।

संचालन + और · के साथ वलय K का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय H है

एक अंगूठी का एक उप-वलय K t. और t. m जब यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए, बी ∈ एच ए − बी ∈ एच, (4)

∀ ए, बी ∈ एच एबी ∈ एच. (5)

इस प्रमेय का प्रमाण प्रमेय 1 के प्रमाण के समान है।

यहां हम प्रमेय 2′ (योगात्मक सूत्रीकरण में उपसमूह के लिए दूसरा मानदंड) और उस पर एक टिप्पणी का उपयोग करते हैं।

7. फ़ील्ड (परिभाषा, प्रकार, गुण, संकेत)।

फ़ील्ड पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय हैई 0 के बराबर नहीं है , जिसमें शून्य के अलावा प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है।

संख्यात्मक फ़ील्ड के शास्त्रीय उदाहरण फ़ील्ड (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) हैं।

संपत्ति 1 . हर क्षेत्र मेंएफ कमी का नियम वैध है

शून्य के अलावा किसी अन्य सामान्य गुणक द्वारा, अर्थात

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a, 0 ⇒ b = c के बराबर नहीं है)।

संपत्ति 2 . हर क्षेत्र मेंएफ कोई शून्य भाजक नहीं.

संपत्ति 3 . अँगूठी(के,+, ) यदि और केवल एक फ़ील्ड है

जब सेटक\(0) गुणन की संक्रिया के अंतर्गत एक क्रमविनिमेय समूह है।

संपत्ति 4 . परिमित अशून्य क्रमविनिमेय वलय(के,+, ) शून्य भाजक के बिना एक क्षेत्र है.

निजी क्षेत्र तत्व.

मान लीजिए कि एक (F,+, ·)-फ़ील्ड है।

निजी वस्तुएँए औरबी खेतएफ , कहाँ b 0 के बराबर नहीं है ,

ऐसे तत्व को कहा जाता हैसी ∈ एफ , क्याए = बी.सी .

संपत्ति 1 . किसी भी तत्व के लिएए औरबी खेतएफ , कहाँ b 0 के बराबर नहीं है , एक अद्वितीय भागफल हैए/बी , और a/b=ab−1.

संपत्ति 2 . ∀ ए ∈ एफ \ (0)

ए/ए= ई और∀ ए ∈ एफ ए/ई= ए.

संपत्ति 3 . ∀ ए, सी ∈ एफ ∀ बी, डी ∈ एफ \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

संपत्ति 4 . ∀ ए, सी ∈ एफ ∀ बी, डी ∈ एफ \ (0)

संपत्ति 5 . ∀ ए ∈ एफ ∀ बी, सी, डी ∈ एफ \ (0)

(ए/बी)/(सी/डी)=विज्ञापन/बीसी

संपत्ति 6 . ∀ ए ∈ एफ ∀ बी, सी ∈ एफ \ (0)

संपत्ति 7 . ∀ ए ∈ एफ ∀ बी, सी ∈ एफ \ (0)

संपत्ति 8 . ∀ ए, बी ∈ एफ ∀ सी ∈ एफ \ (0)

मैदानएफ , जिसकी इकाई का एक सीमित क्रम हैपी समूह में(एफ+) पी .

मैदानएफ इकाई, जिसका समूह में अनंत क्रम होता है(एफ+) , को विशेषता का क्षेत्र कहा जाता है 0.

8. उपक्षेत्र (परिभाषा, प्रकार, गुण, चिह्न)

फ़ील्ड उपफ़ील्ड(एफ,+, ) उपसमुच्चय कहा जाता हैएस सेटएफ , जो परिचालन के तहत बंद है+ और· में परिभाषित किया गया हैएफ , और इन परिचालनों के संबंध में स्वयं एक क्षेत्र है।

आइए हम उपक्षेत्रों के कुछ उदाहरण दें क्यू-क्षेत्र का उपक्षेत्र (आर,+, ·);

आर-क्षेत्र का उपक्षेत्र (सी,+, ·);

निम्नलिखित कथन सत्य हैं.

संपत्ति 1 . शून्य उपक्षेत्र तत्वएस खेतएफ के साथ मेल खाता है

शून्य फ़ील्ड तत्वएफ .

संपत्ति 2 . प्रत्येक तत्व के लिएए भूमिगतएस खेतएफ इसका विपरीत तत्वएस के साथ मेल खाता है-ए , अर्थात। इसके विपरीत तत्व के साथएफ .

संपत्ति 3 . किसी भी तत्व के लिएए औरबी भूमिगतएस खेतएफ उनका

अंतरएस के साथ मेल खाता हैएक-बी वे। इन तत्वों के अंतर के साथएफ .

संपत्ति 4 . उपक्षेत्र इकाईएस खेतएफ इकाई से मेल खाता है

इ खेतएफ .

संपत्ति 5 . प्रत्येक तत्व के लिएए भूमिगतएस खेतएफ , से-

शून्य से वैयक्तिक, इसका व्युत्क्रम तत्त्वएस के साथ मेल खाता हैए−1 , अर्थात। तत्व के विपरीत के साथए वीएफ .

उपक्षेत्र चिह्न.

प्रमेय 1 (उपक्षेत्र का पहला संकेत)।

सबसेटएच खेतएफ संचालन के साथ+, · , गैर-शून्य युक्त

(एफ,+, )

∀ ए, बी ∈ एच ए + बी ∈ एच, (1)

∀ ए ∈ एच − ए ∈ एच, (2)

∀ ए, बी ∈ एच एबी ∈ एच, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

प्रमेय2 (उपक्षेत्र का दूसरा संकेत)।

सबसेटएच खेतएफ संचालन के साथ+, · , गैर-शून्य युक्त

तत्व, एक क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है(एफ,+, ) यदि और केवल यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए, बी ∈ एच ए − बी ∈ एच, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. वलय Z में विभाज्यता अनुपात

कथन: समुच्चय R पर क्रमविनिमेय वलय के किसी भी तत्व a,b,c के लिए, निम्नलिखित निहितार्थ सत्य हैं:

1) ए|बी, बी|सी => ए|सी

2) ए|बी, ए|सी => ए| (बीसी)

3) ए|बी => ए|बीसी

किसी भी a, b Z के लिए यह सत्य है:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b और b|a ó |a|=|b|

किसी पूर्णांक a को शेषफल वाले पूर्णांक b से विभाजित करने का अर्थ है ऐसे पूर्णांक q और r खोजना, जिन्हें आप a=b*q + r, 0≤r≥|b| का प्रतिनिधित्व कर सकें, जहां q एक अपूर्ण भागफल है, r है शेष

प्रमेय: यदि a और b Z , b≠0, तो a को शेषफल के साथ b से विभाजित किया जा सकता है, और अपूर्ण भागफल और शेषफल विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।

परिणाम, यदि a और b Z , b≠0, तो b|a ó

11. जीसीडी और एनओसी

संख्या Z का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) कुछ संख्या d कहलाता है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है

1) d एक सामान्य भाजक है अर्थात घ| , डी| …डी|

2) d संख्याओं के किसी भी सामान्य विभाजक से विभाज्य है अर्थात घ| , डी| …डी| =>डी| , डी| …डी|

उदाहरण 4.1.1. हम अंगूठियों का उदाहरण देते हैं.

2. (जेड/एनजेड, +, ) अवशेष वर्गों मॉड्यूलो की अंगूठी है एन  एनजोड़ और गुणा की संक्रियाओं के साथ।

4. एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित सभी वास्तविक कार्यों का सेट ( ए; बी) वास्तविक संख्या रेखा, कार्यों के जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाओं के साथ।

5. बहुपदों का समुच्चय (बहुपद) क[एक्स] रिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) एक चर से एक्सबहुपदों के जोड़ और गुणन की प्राकृतिक संक्रियाओं के साथ। विशेष रूप से, बहुपदों के वलय जेड[एक्स], क्यू[एक्स], आर[एक्स], सी[एक्स], जेड/एनजेड[एक्स] पर एन  एन.

6. सदिशों का वलय ( वी 3 (आर), +, ) जोड़ और वेक्टर गुणन के साथ।

7. रिंग ((0), +, ) जोड़ और गुणन संचालन के साथ: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

परिभाषा 4.1.2. अंतर करना सीमित और अनंतछल्ले (सेट के तत्वों की संख्या के अनुसार क), लेकिन मुख्य वर्गीकरण गुणन के गुणों पर आधारित है। अंतर करना जोड़नेवालाजब गुणन संक्रिया साहचर्य होती है तो बजती है (उदाहरण 4.1.1 के आइटम 1-5, 7) और गैर साहचर्यअंगूठियां (उदाहरण 4.1.1 का आइटम 6: यहां ,)। साहचर्य वलय को विभाजित किया गया है इकाई बजती है(गुणन के संबंध में एक तटस्थ तत्व है) और बिना इकाई के, विनिमेय(गुणन की संक्रिया क्रमविनिमेय है) और अविनिमेय.

(ए  बी)  (बी –1  ए –1) = ए  (बी  बी –1)  ए –1 = ए  1  ए –1 = 1,

(बी –1  ए –1)  (ए  बी) = बी –1  (ए –1  ए)  बी = बी –1  1  बी = 1,

कहाँ ए –1 , बी –1  कके व्युत्क्रम तत्व हैं एऔर बीक्रमश।

1) गुणन में क* साहचर्य, चूँकि कएक साहचर्य वलय है.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  क* , 1 गुणन के संबंध में एक तटस्थ तत्व है क * .

3)  के लिए ए  क * , ए –1  क* , क्योंकि ( ए –1)  ए = ए  (ए –1) = 1
(ए –1) –1 = ए.

उदाहरण 4.1.2. आइए हम विभिन्न वलयों के गुणक समूहों के उदाहरण दें।

1. जेड * = {1, –1}.

2. एम एन (क्यू) * = जीएल एन (क्यू), एम एन (आर) * = जीएल एन (आर), एम एन (सी) * = जीएल एन (सी).

4. (0) * = (0), चूँकि इस मामले में 1 = 0. 

उदाहरण 4.1.3.

1. (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) – क्रमशः संख्यात्मक फ़ील्डतर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याएँ।

3. नॉन-कम्यूटेटिव बॉडी है चतुर्भुज शरीर- तय करना quaternions, अर्थात् रूप के भाव एच= ए + द्वि + सी.जे + डीके, कहाँ ए, बी, सी, डी  आर, मैं 2 = = जे 2 = क 2 = – 1, मैं  जे= क= – जे  मैं, जे  क= मैं= – क  जे, मैं  क= – जे= – क  मैं, जोड़ और गुणा संचालन के साथ। उपरोक्त सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, चतुर्भुजों को पद दर पद जोड़ा और गुणा किया जाता है। सभी के लिए एच 0 व्युत्क्रम चतुर्भुज का रूप है:
.